Question

[My Love bost toán]

Cho tam giác ABC có góc A tù . Kẻ AD vuông góc với AB và AD=AB(tia AD nằm giữa hai tia AB và AC). Kẻ AE vuông góc với AC và AE=AC(tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Answer 1

[Thạch Xuân Bảo]

kìa ai trả lời đi chứ

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Gọi giao điểm của ED và AM là K.Trên tia đối của MA lấy điểm F sao cho AM=FM.

Xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MFC có:

MA=MF,^BMA=^FMC,BM=CM => \(\Delta MAB=\Delta FMC\left(c-g-c\right)\Rightarrow AB=FC=AD,\widehat{ABM}=\widehat{FCM}\)

\(\Rightarrow AB//CF\Rightarrow\widehat{FCA}+\widehat{BAC}=180^0\left(1\right)\)

\(AD\perp AB\Rightarrow\widehat{BAE}+\widehat{EAD}=90^0\)

\(AE\perp AC\Rightarrow\widehat{CAD}+\widehat{EAD}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}+\widehat{EAD}+\widehat{CAD}+\widehat{EAD}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{EAD}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{FCA}=\widehat{EAD}\)

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)CFA có:

AE=AC(gt),^FCA=^EAD(cmt),AD=CF(cmt)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CFA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{CAF}\)

Mặt khác:\(\widehat{CAF}+\widehat{FAF}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AED}+\widehat{FAE}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAK}+\widehat{KAE}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EKA}=90^0\)

\(\Rightarrow AM\perp DE^{đpcm}\)