Question

[Linh Le Thuy]

Tìm GTNN, GTLN của \(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+2}\)

Tìm GTNN, GTLN cuả \(P=\dfrac{x+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

TXĐ: \(x\ge0\)

a/ Đặt \(\sqrt{x}=t\ge0\Rightarrow P=\dfrac{t-1}{t^2+2}\Leftrightarrow Pt^2-t+2P+1=0\) (1)

Ta tìm điều kiện P để (1) có ít nhất một nghiệm không âm

(*) \(\Delta\ge0\Rightarrow1-4P\left(2P+1\right)\ge0\Rightarrow-8P^2-4P+1\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4}\le P\le\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\)

(**)Để phương trình có 2 nghiệm đều âm \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2P+1}{P}>0\\\dfrac{1}{P}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P< \dfrac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow\) Để có ít nhất một nghiệm không âm thì \(P\ge\dfrac{-1}{2}\)

Kết hợp (*) và (**) ta được: \(\dfrac{-1}{2}\le P\le\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{-1}{2}\) và \(P_{max}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\)

b/ TXĐ: \(x\ge0\)

\(P=1-\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\)

Để \(P_{min}\Rightarrow\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\) đạt max, mà \(x+\sqrt{x}+1\ge1\) \(\forall x\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\le1\) \(\forall x\ge0\) \(\Rightarrow P_{min}=1-1=0\)

Để \(P_{max}\Rightarrow\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\) đạt min \(\Rightarrow x+\sqrt{x}+1\) đạt max

Mà giá trị max của \(x+\sqrt{x}+1\) không tồn tại \(\Rightarrow P_{max}\) không tồn tại