1) a) Cho (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz
C/m x2015+y2015+z2015=(x+y+z)2015
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
0
MN
1
25 tháng 11 2021
\(=\dfrac{xy\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)-x\left(z-1\right)+\left(z-1\right)}{xy\left(z+1\right)+y\left(z+1\right)-x\left(z+1\right)-\left(z+1\right)}\\ =\dfrac{\left(z-1\right)\left(xy-y-x+1\right)}{\left(z+1\right)\left(xy+y-x-1\right)}=\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}\\ =\dfrac{\left(5003-1\right)\left(5001-1\right)}{\left(5003+1\right)\left(5001+1\right)}=\dfrac{5002\cdot5000}{5004\cdot5002}=\dfrac{5000}{5004}=\dfrac{1250}{1251}\)
9 tháng 10 2021
13:
xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz
= xy(x + y) + yz(y + z) + xyz + xz(x + z) + xyz
= xy(x + y) + yz(y + z + x) + xz(x + z + y)
= xy(x + y) + z(x + y + z)(y + x)
= (x + y)(xy + zx + zy + z²)
= (x + y)[x(y + z) + z(y + z)]
= (x + y)(y + z)(z + x)
TT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
\(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3xyz}\ge\frac{2}{\sqrt{3xyz\left(x+y+z\right)}}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 3 2018
Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)
\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)
\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :
\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)
Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz
x2y+xyz+zx2+xy2+y2z+xyz+xyz+yz2+z2x=xyz
(x2y+xy2)+(xyz+zx2)+(y2z+xyz)+(yz2+z2x)+xyz=xyz
xy(x+y)+zx(y+x)+yz(y+x)+z2(y+x)+xyz=xyz
(x+y)(xy+xz+yz+z2)+xyz=xyz
(x+y)[(xy+xz)+(yz+z2)]+xyz=xyz
(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]+xyz=xyz
(x+y)(x+z)(y+z)+xyz=xyz
(x+y)(x+z)(y+z)=xyz-xyz
(x+y)(x+z)(y+z)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+z=0\\y+z=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\x=-z\\y=-z\end{matrix}\right.\)
Với x=-z
=>VT= x2015+y2015+z2015=(-z)2015+z2015+y2015=y2015
VP=(x+y+z)2015=(-z+y+z)2015=y2015
Vậy x2015+y2015+z2015=(x+y+z)2015 với (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz