\(^{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}\)\(\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2020
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4ae+4e^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)
AS
3
LA
17 tháng 3 2019
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae-4e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)
BĐT trên đúng, mà các phép biến đổi là tương đương
\(\RightarrowĐPCM\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e
17 tháng 3 2019
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge 0\]
Xét tam thức bậc hai: $f\left( a \right) = {a^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}$
Ta có: $\Delta = {\left( {b + c + d + e} \right)^2} - 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right)$
Theo bất đẳng thức BCS, ta có: \[{\left( {b + c + d + e} \right)^2} \le \left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right) = 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right)\]
Suy ra: \[\Delta = {\left( {b + c + d + e} \right)^2} - 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right) \le 0 \Rightarrow f\left( a \right) \ge 0,\,\,\forall a \in \mathbb{R} \]
Từ đó ta có đpcm.
NC
2
3 tháng 11 2019
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy ...
NM
2
F
25 tháng 9 2020
Đề thiếu rồi nhé: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Quá ez:))
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)
\(=\left(\frac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+e^2\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot b^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot c^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot d^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot e^2}\)
\(=ab+ac+ad+ae=a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
25 tháng 9 2020
Sửa đề a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e )
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e )
<=> a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ ab + ac + ad + ae
Nhân 4 vào từng vế
<=> 4( a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ) ≥ 4( ab + ac + ad + ae )
<=> 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae
<=> 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0
<=> ( a2 - 4ab + 4b2 ) + ( a2 - 4ac + 4c2 ) + ( a2 - 4ac + 4d2 ) + ( a2 - 4ae + 4e2 ) ≥ 0
<=> ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
d/ \(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
e/ \(\Leftrightarrow a^6+b^6+a^5b+ab^5\ge a^6+b^5+a^4b^2+a^2b^4\)
\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2+ab^5-a^2b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
f/ \(\frac{a^6}{b^2}+a^2b^2\ge2\sqrt{\frac{a^8b^2}{b^2}}=2a^4\) ; \(\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2b^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge2a^4+2b^4-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^2-b^2\right)^2\ge a^4+b^4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
a/ \(VT=a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)
\(VT=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(VT\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6\left|abc\right|\ge6abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ \(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
c/ \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{2}\ge\frac{a^3+b^3+3a^2b+3ab^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
10 tháng 9 2018
\(1.\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(2.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=0\)
\(3.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
4. Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(c-d\right)^2\ge0\Rightarrow c^2+d^2\ge2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3ab+3cd\)
Ta lại có:\(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{cd}\right)^2\ge0\Rightarrow ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+cd\right)\ge6\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3\left(ab+cd\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
TH
2
DQ
3
31 tháng 1 2020
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge 0\]
Xét tam thức bậc hai: $f\left( a \right) = {a^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}$
Ta có: $\Delta = {\left( {b + c + d + e} \right)^2} - 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right)$
Theo bất đẳng thức BCS, ta có: \[{\left( {b + c + d + e} \right)^2} \le \left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right) = 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right)\]
Suy ra: \[\Delta = {\left( {b + c + d + e} \right)^2} - 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right) \le 0 \Rightarrow f\left( a \right) \ge 0,\,\,\forall a \in \mathbb{R} \]
Từ đó ta có đpcm.
TT
3
MT
17 tháng 4 2016
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
<=>(a2-4ab+4b2)+(a2-4ac+4c2)+(a2-4ad+4d2)+(a2-4ae+e2)\(\ge\)0
<=>(a-2b)2+(a-2c)2+(a-2d)2+(a-2e)2\(\ge\)0 (luôn đúng)
=>dpcm
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{a^2}{4}+b^2\ge ab\)
\(\frac{a^2}{4}+c^2\ge ac\)
\(\frac{a^2}{4}+d^2\ge ad\)
\(\frac{a^2}{4}+e^2\ge ae\)
Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\("="\Leftrightarrow\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)
\(=\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)
\(=\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\forall a,b,c,d,e\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)