cmr: với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có bất đẳng thức sau:
\(4x^2+y^2+z^2+t^2\ge2x\left(y-z+t\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
RD
19 tháng 10 2018
\(4x^2+y^2+z^2+t^2\ge2x\left(y+z+t\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+z^2+t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+x^2\ge0\)(đúng)
=>đpcm
"="<=>x=y=z=t=0
26 tháng 4 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)(1)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)
<=> \(\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\right)+\left(y^2+z^2-2yz\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+t^2\ge0\)
<=> \(\left(x-y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+t^2\ge0\)đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 0
26 tháng 4 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+t^2-x\left(y+z+t\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{4}-xy+y^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xz+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xt+t^2\right)+\frac{x^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+\left(\frac{x}{2}-z\right)^2+\left(\frac{x}{2}-t\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)
Vậy có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(\frac{x}{2}-y\right)^2=\left(\frac{x}{2}-z\right)^2=\left(\frac{x}{2}-t\right)^2=\frac{x^2}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}-y=\frac{x}{2}-z=\frac{x}{2}-t=x=0\)
<=> x=y=z=t=0
PH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2020
\(P=3x^2+3z^2+10y^2+10t^2+8xy+8zt+4zx+2yz+2xt\)
\(P\le5x^2+5z^2+10y^2+10t^2+8xy+8zt+2yz+2xt\)
\(P\le10+5y^2+5t^2+8xy+8zt+2yz+2xt\)
\(\left\{{}\begin{matrix}8xy=\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[2.x.\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}y\right]\le\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[x^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)y^2\right]\\8zt\le\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[z^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)t^2\right]\\2yz\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left[z^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)y^2\right]\\2xt\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)t^2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\le10+\frac{5}{2}\left(\sqrt{5}+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\le15+5\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=z=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\\y=t=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+z^2+t^2-2xy+2xz-2xt>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+x^2>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(x-t\right)^2+x^2>=0\)(luôn đúng)