Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a + b + c = 6
Chứng minh :
54 > 3 ( a2 + b2 + c2 ) + 2abc ≥ 52
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
27 tháng 3 2018
Chọn B.
Ta có:
a(a2 – c2) = b(b2 – c2) ⇔ a3 – ac2 = b3 – bc2
⇔ a3 – b3 = ac2 – bc2
⇔ (a – b)(a2 + ab + b2) = c2(a – b)
⇔ a2 + ab + b2 = c2
⇔ ab = c2 – a2 – b2
Ta lại có: 
15 tháng 6 2023
1: (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9
=(a^2-7a+6)(a^2-7a+12)+9
=(a^2-7a)^2+18(a^2-7a)+81
=(a^2-7a+9)^2>=0
b: \(A=\dfrac{a^4-4a^3+a^2+4a^3-16a+4+16a-3}{a^2}=\dfrac{16a-3}{a^2}\)
a^2-4a+1=0
=>a=2+căn 3 hoặc a=2-căn 3
=>A=11-4căn 3 hoặc a=11+4căn 3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác
\(\Rightarrow a< b+c\Rightarrow2a< a+b+c=6\Rightarrow a< 3\)
Chứng minh tương tự ta được: \(b< 3;c< 3\)
\(\Rightarrow3-a>0;3-b>0,3-c>0\)
Do đó:
\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\dfrac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{9-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27\le1\)
\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27\le1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge3\left(ab+bc+ca\right)-28\)
\(\Leftrightarrow2abc\ge6\left(ab+bc+ca\right)-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56=52\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
BĐT vế phải:
Vẫn từ chứng minh trên, \(3-a>0;3-b>0,3-c>0\)
\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27>0\)
\(\Leftrightarrow abc< 3\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Leftrightarrow2abc< 6\left(ab+bc+ca\right)-54\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-54\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a+b+c\right)^2-54=54\) (đpcm)
