cho a,b,c >0 va 1/a+1/c=2/b
Tim GTNN A=(a+b)/(2a-b) + (b+c)/(2c-b)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
0
CD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 5 2022
Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 2 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(T=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
\(\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}\) (theo BĐT AM-GM)
Vậy $T_{\min}=\frac{3}{2}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
12 tháng 11 2017
Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ
E
5 tháng 11 2018
\(P=\dfrac{bc}{\dfrac{a^2bc}{c}+\dfrac{a^2bc}{b}}+\dfrac{ca}{\dfrac{b^2ac}{a}+\dfrac{b^2ac}{c}}+\dfrac{ab}{\dfrac{c^2ab}{b}+\dfrac{c^2ab}{a}}=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a^2b^2c+a^2bc^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b^2a^2c+b^2ac^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c^2a^2b+c^2ab^2}=\dfrac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{ba+bc}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
TN
2 tháng 12 2016
Tìm GTNN a: $F= 14(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
3 tháng 12 2016
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^4\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
Ta lại có:
\(ab+bc+ca=\frac{1-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
Làm tiếp.
