Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau thỏa mãn hệ thức:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\).
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 10 2019
Câu hỏi của Jungkookie - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
KN
3 tháng 12 2019
Ta có: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-bc+c^2-a^2+ab}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ca+a^2-b^2+bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Cộng các đẳng thức trên ta được:
\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)\(\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ba-ca+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
Vậy \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)0 (đpcm)
2 tháng 10 2017
từ đề bài \(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-cb+c^2-a^2+ab}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\\\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\)
\(=\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ab-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}=0\)(đpcm)
PN
22 tháng 9 2017
Trần Hữu Ngọc Minh bn tham khảo nha:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}=\frac{a+b+c}{"b+c"+"a+c"+"a+b"}=\frac{a+b+c}{2."a+b+c"}\)
Xét 2 trường hợp, ta có:
\(\cdot TH1:a+b+c=0\)thì \(\hept{\begin{cases}b+c=-a\\a+c=-b\\a+b=-c\end{cases}}\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1+-1+-1=-3\)
Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c 1:
\(\cdot TH2:a+b+c\ne0\)thì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2."a+b+c"}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}\)
Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c 2
Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\)đpcm
CB
2 tháng 5 2017
\(\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=-\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=-\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-c\right)}\)
sau đó chứng minh tương tự và cộng theo từng vế thôi
13 tháng 7 2016
a) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{c+a}{b}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
- TH1: Nếu a + b + c = 0 \(\Rightarrow P=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=\frac{-\left(abc\right)}{abc}=-1\)
- TH2 : Nếu \(a+b+c\ne0\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
b) Đề bài sai ^^
30 tháng 8 2019
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
25 tháng 3 2020
Ta có : \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-\left(a-b\right)+\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{-\left(b-c\right)+\left(b-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{-\left(c-a\right)+\left(c-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
