cho 2 số dương a và b thỏa mãn ab = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 4 2019
\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+2012+\frac{1}{ab}+4ab.\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(M\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}.8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)
=> \(Q\ge2012+7=2019\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)
Vậy......
S
20 tháng 4 2019
\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2012ab+1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)+\frac{1}{4ab}+2012\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\left(x+y\right)^2\ge4xy\),ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
\(\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)^2\ge4.4ab\cdot\frac{1}{4ab}=4\Rightarrow4ab+\frac{1}{4ab}\ge2\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\Rightarrow\frac{1}{4ab}\ge1\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+1+2012=2019\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
26 tháng 1 2016
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge a\)
\(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
=>\(A\ge a+b+c-\frac{1}{4}\left(3+a+b+c\right)=\frac{3}{4}\left(a+b+c-1\right)\ge\frac{3}{4}\left(3\sqrt[3]{abc}-1\right)=\frac{3}{2}\)
A min = 3/2 khi x= y =z =1
11 tháng 11 2017
Ta có:
\(\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{1+b^2}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)
Tương tụ ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{\left(b+1\right)}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\\\frac{\left(c+1\right)}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(M\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(=3+3-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\)
\(\ge\frac{9}{2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3\)
28 tháng 2 2016
\(\frac{a^2}{1+b}=\frac{a^2\left(1+b\right)-a^2b}{1+b}=a^2-\frac{a^2b}{1+b}\ge a^2-\frac{a^2b}{2\sqrt{b}}=a^2-\frac{a^2\sqrt{b}}{2}\) và tương tự
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}\)
\(=a+b+\frac{2}{a+b}=a+b+\frac{4}{a+b}-\frac{2}{a+b}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}-\frac{2}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{4}-1=3\)(AM-GM)
Nên GTNN của B là 3 khi a=b=1