Cho a,b,c là những số hữu tỉ khác 0 và a=b+c
CMR :\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\) là 1 số hữu tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
WR
23 tháng 6 2019
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\left(\frac{b+c}{bc}\right)^2-\frac{2}{bc}.}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{a^2}{b^2c^2}-\frac{2}{bc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{a}{bc}\right)^2}\)\(=\left|\frac{1}{a}-\frac{a}{bc}\right|\)
Do a,b,c là các số hữu tỉ => đpcm
23 tháng 6 2019
Ta có
\(\frac{1}{a^2\:}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b\:}-\frac{1}{c}\right)^2\)2. + \(2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)+ \(2.\frac{c+b-a}{abc}\)\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)(Vì a=b+c)
Từ đó suy ra
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2}\)\(=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)Vì a,b,c là số hữu tỉ khác 0 nên \(|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)là một số hữu tỉ
=> đpcm
27 tháng 6 2016
Do a;b;c khác 0 và a = b + c nên b+c cũng khác 0.
Xét biểu thức dưới căn bậc hai:
\(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{\left(c+b\right)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2c^2+c^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(b+c\right)^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}=\)
\(P=\frac{\left(b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+2bc\right)+b^2c^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(b^2+c^2\right)^2+2bc\left(b^2+c^2\right)+b^2c^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(b^2+c^2+bc\right)^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}\)
\(P=\left(\frac{b^2+c^2+bc}{bc\left(b+c\right)}\right)^2\)
\(\Rightarrow M=\left|\frac{b^2+c^2+bc}{bc\left(b+c\right)}\right|\)là 1 số hữu tỷ. đpcm
23 tháng 9 2019
Câu hỏi của Trần Đức Tuấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
30 tháng 6 2017
Ta có:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)^2b^2+\left(b+c\right)^2c^2+b^2c^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}\)
\(=\frac{b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}\)
\(=\frac{\left(b^4+2b^2c^2+c^4\right)+2bc\left(b^2+c^2\right)+b^2c^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}\)
\(=\frac{\left(b^2+bc+c^2\right)^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{\left(b^2+bc+c^2\right)^2}{b^2c^2\left(b+c\right)^2}}=\frac{b^2+bc+c^2}{bc\left(b+c\right)}\)
Vì a, b, c là các số hữu tỷ nên \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\) là số hữu tỷ
DK
27 tháng 6 2016
Ta có:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\frac{c+b-a}{abc}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)(vì a = b + c)
Suy ra:
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\)
Do a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\)là một số hữu tỉ.
(Chúc bạn làm bài tốt và nhớ click cho mình với nhá!)
BT
27 tháng 6 2016
Đặt \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) có \(a=b+c\Rightarrow A=\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2c^2+c^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2b^2c^2}\)
Ta có \(b^2c^2+c^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(b+c\right)^2=b^2c^2+\left(b+c\right)^2\left(b^2+c^2\right)\)
=\(b^2c^2+\left(b^2+c^2+2bc\right)\left(b^2+c^2\right)=b^2c^2+\left(b^2+c^2\right)^2+2bc\left(b^2+c^2\right)\)
=\(\left(bc+\left(b^2+c^2\right)\right)^2\)
Vậy \(A=\frac{\left(bc+\left(b^2+c^2\right)\right)^2}{\left(b+c\right)^2b^2c^2}\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{bc+b^2+c^2}{\left|\left(b+c\right)bc\right|}\)
Do \(b,c\)là các số chính phương nên \(\sqrt{A}\)chính phương suy ra điều phải chứng minh.
21 tháng 2 2019
Câu hỏi của Trần Đức Tuấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
ML
8 tháng 7 2015
Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\Rightarrow x+y+z=0\)
Ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\frac{\left(x+y+z\right)}{xyz}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(A=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\) là số hữu tỉ
26 tháng 7 2017
a/ \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2.b^2+\left(b+c\right)^2.c^2+b^2.c^2}{\left(b+c\right)^2.b^2.c^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(b^2+bc+c^2\right)^2}{\left(b+c\right)^2.b^2.c^2}}\)
\(=\left|\dfrac{b^2+bc+c^2}{\left(b+c\right).b.c}\right|\)
Vậy \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)là số hữu tỉ
26 tháng 7 2017
b/ \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(2b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2.b^2+\left(b+c\right)^2.\left(2b+c\right)^2+\left(2b+c\right)^2.b^2}{\left(b+c\right)^2.\left(2b+c\right)^2.b^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(3b^2+3bc+c^2\right)^2}{\left(b+c\right)^2.\left(2b+c\right)^2.b^2}}\)
\(=\left|\dfrac{3b^2+3bc+c^2}{\left(b+c\right).\left(2b+c\right).b}\right|\)
Vậy \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\) là số hữu tỉ
12 tháng 6 2021
Ta có: \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\)
\(=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2-2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{\left(a-b\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)}+\frac{1}{c-a}\right)^2-2\left(\frac{c-a+a-b+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)
=> \(A=\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2}\)
\(=\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)
Vì a,b,c là các số hữu tỉ => \(\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)là một số hữu tỉ
=> A là một số hữu tỉ
Ta có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\) (vì: a=b+c)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)
Do a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\) là 1 số hữu tỉ
=.= hok tốt!!