Cho 3 số a, b, c sao cho :
\(0\le a\le2\); \(0\le b\le2\); \(0\le c\le2\) và a + b + c = 3.
Chứng minh rằng : \(a^2+b^2+c^2\le5\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
22 tháng 3 2016
Không mất tính giả sử \(a\ge b\ge c\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{bc+1}=\frac{b+c}{bc+1}\left(1\right)\)
Mà \(0\le b,c\le1\Rightarrow\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Rightarrow bc+1\ge b+c\Rightarrow\frac{b+c}{bc+1}\le1\left(2\right)\)
Do\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow a\le1\le1+bc\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le1\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) rồi cộng lại ta thu được đpcm
BC
0
AW
2
N
16 tháng 12 2018
Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\)
Khi đó dễ thấy dấu = sẽ đạt được tại biên, tức a=2, c=1 nên ta sẽ dồn các biến ra biên
Ta có: \(\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\left(\dfrac{b}{c}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\le\dfrac{a}{c}+1\)
\(\left(\dfrac{b}{a}-1\right)\left(\dfrac{c}{b}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\le\dfrac{c}{a}+1\)
Do đó \(VT\le2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+2\) nên chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\)(*) hay \(\dfrac{\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)}{2ac}\le0\) ( luôn đúng do \(c\le a\le2c\) )
Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi a=2, c=1, b=1 hoặc a=2, c=1, b=2 và các hoán vị tương ứng.
11 tháng 11 2018
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)
Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)
=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a2+b2+c2-(a+b+c)-6\(\le\)0
=>a2+b2+c2 \(\le\)6
Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)( a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị
