cho a,b,c>0.cmr
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{2b\sqrt{ac}}+\dfrac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
\(VT\le\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2abc}\)
Mặt khác ta luôn có:
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)-2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\le a+b+c\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
\(\leq \frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{2abc}=\frac{a+b+c}{2abc}=\text{VP}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2021
Lời giải tại link sau:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-duongcmr-dfrac1a2bcdfrac1b2acdfrac1c2abledfracabc2abc.193908584039
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
a.
Ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\) ; \(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng vế:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2\sqrt{ab.ac}\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+bc}\le\dfrac{1}{2\sqrt{ab.ac}}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+ac}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}\right)\) ; \(\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
LV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2021
Lời giải:
Vế đầu:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc$
$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\geq 9abc-2abc=7abc\geq 0$ do $a,b,c\geq 0$
Vế sau:
Áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$
$\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1$
$\Rightarrow 2abc\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}$
$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\leq ab+bc+ac-[\frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}]=\frac{ab+bc+ac}{9}+\frac{2}{9}$
$\leq \frac{(a+b+c)^2}{27}+\frac{2}{9}$ (theo BĐT AM-GM)
$=\frac{1}{27}+\frac{2}{9}=\frac{7}{27}$
Ta có đpcm.
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\) ; \(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
\(a^2+bc\geq 2\sqrt{a^2bc}; b^2+ac\geq 2\sqrt{b^2ac}; c^2+ab\geq 2\sqrt{c^2ab}\)
Do đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}\)
hay \(\text{VT}\leq \frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}(*)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{bc}\leq \frac{b+c}{2}\\ \sqrt{ac}\leq \frac{a+c}{2}\\ \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)