Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
13 tháng 10 2016
Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Theo đề bài ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
ND
21 tháng 4 2018
a.
Xét hiệu:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1-4\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
Suy ra:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
ND
21 tháng 4 2018
b.
Đặt:
\(A=\)\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+3\) (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\) (2)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\) (3)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\) (4)
Từ (1)(2)(3)(4) cộng vế theo vế, ta được:
\(A\ge3+2+2+2=9\)
=> BĐT luôn đúng
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
C6. Cho các số thực dương thoả mãn: ab+1 nhỏ hơn hoặc bằng b Chứng minh rằng : ( a + (1/a^2) ) + ( b^2 + (1/b) ) lớn hơn hoặc bằng 9
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
18 tháng 2 2016
phần a nhé
1/a+1/b+1/c=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a) do a+b+c=1
áp dụng bdt cosi cho các so dương a/b,b/a,a/c,c/a,b/c,c/b
a/b+b/a >=2
b/c+c/b>=2
a/c+c/a>=2
cộng hết vào suy ra 1/a+1/b+1/c >=9
VH
15 tháng 7 2019
1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.
Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:
\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)
Không thể xảy ra dấu đẳng thức.
30 tháng 3 2022
\(a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a^2+1}{a}\ge\dfrac{2a}{a}=2;b+\dfrac{4}{b}=\dfrac{b^2+4}{b}\ge\dfrac{4b}{b}=4;c+\dfrac{9}{c}=\dfrac{c^2+9}{c}\ge\dfrac{6c}{c}=6\)
\(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+\left(b+\dfrac{4}{b}\right)+\left(c+\dfrac{9}{c}\right)\ge2+4+6=12\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (vì a+b+c=1) (đpcm)
Cách khác dùng AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)(đpcm)