Chứng minh: \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\) lớn hơn hoặc bằng x+y với mọi x,y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 7 2018
\(a.x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41\)
\(=x^2-2xy+y^2-12x+12y+36+5y^2-10y+5\)
\(=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+5\left(y-1\right)^2\)
\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2\) ≥ \(0\)
\(b.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2x}{y}-\dfrac{2y}{x}+3\)
\(=\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1+1\)
\(=\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2+1>0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 9 2020
Ta có:
\(VT=\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}+1-2\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{y}{x}}-2\ge\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}+2\sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}}.\sqrt{\frac{y}{x}}}-2=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
PT
2
14 tháng 1 2021
\(x^2-4xy+5y^2+2x-8y+5=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\).
14 tháng 1 2021
x2 - 4xy + 5y2 + 2x - 8y + 5
= x2 + 4y2 + 1 - 4xy + 2x - 4y + y2 - 2y + 1
= (x - 2y + 1)2 + (y - 1)2 ≥ 0
21 tháng 2 2022
Theo bđt AM-GM
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x.1}{x}}=2\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\ge4\)
\(y+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{y.1}{y}}=2\Rightarrow\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge4\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 1
4 tháng 3 2018
\(\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y< 1\end{matrix}\right.\)=> dccm sai = > người ra đề sai họăc người chép đề sai ;
ta có
\(\dfrac{x^2}{y}+y=\dfrac{x^2+y^2}{y}\ge\dfrac{2xy}{y}=2x\) với mọi x,y
tương tự ta đc
\(\dfrac{y^2}{x}+x\ge2y\) với mọi x,y
cộng vế với vế ta dc
\(\dfrac{y^2}{x}+x+\dfrac{x^2}{y}+y\ge2x+2y\)
<=>\(\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{x^2}{y}+x+y\ge2\left(x+y\right)\)
<=>\(\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{x^2}{y}\ge x+y\) (đpcm)