Cho biểu thức G=\(\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\dfrac{x^2-2x+1}{2}\)
Chứng minh rằng nếu 0<x<1 thì G nhận giá trị dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 5 2023
\(=\dfrac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
MH
26 tháng 4 2022
Điều kiện: \(x\ge0,x\ne1\)
\(A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\\ =\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\\ =\left(\dfrac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{x\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\\ =\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\\ =\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
Ta có \(x+\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0,\forall x\Rightarrow A>0\)
Lại có: \(A-2=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}-2=\dfrac{-2\left(x+\sqrt{x}\right)}{x+\sqrt{x}+1}\)
Mà \(x+\sqrt{x}+1>0;x+\sqrt{x}>0\) với mọi \(x\in TXĐ\)
\(\Rightarrow A-2< 0\Rightarrow A< 2\)
Vậy \(0< A< 2\)
14 tháng 5 2021
`1)P((\sqrtx+1)/(\sqrtx-2)-2/(x-4)).(\sqrtx-1+(\sqrtx-4)/\sqrtx)(x>0,x ne 4)`
`=((x+3\sqrtx+2-2)/(x-4)).((x-\sqrtx+\sqrtx-4)/\sqrtx)`
`=((x+3\sqrtx-4)/(x-4)).((x-4)/\sqrtx))`
`=(x+3\sqrtx)/\sqrtx`
`=(\sqrtx(\sqrtx+3))/\sqrtx`
`=\sqrtx+3(đpcm)`
`2)P=x+3
`<=>\sqrtx+3=x+3`
`<=>x-\sqrtx=0`
`<=>\sqrtx(\sqrtx-1)=0`
Vì `x>0=>\sqrtx>0`
`=>\sqrtx-1=0<=>x=1(tm)`
Vậy `x=1=>\sqrtx+3=x+3`
14 tháng 5 2021
`1)P((\sqrtx+1)/(\sqrtx-2)-2/(x-4)).(\sqrtx-1+(\sqrtx-4)/\sqrtx)(x>0,x ne 4)`
`=((x+3\sqrtx+2-2)/(x-4)).((x-\sqrtx+\sqrtx-4)/\sqrtx)`
`=((x+3\sqrtx)/(x-4)).((x-4)/\sqrtx))`
`=(x+3\sqrtx)/\sqrtx`
`=(\sqrtx(\sqrtx+3))/\sqrtx`
`=\sqrtx+3(đpcm)`
`2)P=x+3
`<=>\sqrtx+3=x+3`
`<=>x-\sqrtx=0`
`<=>\sqrtx(\sqrtx-1)=0`
Vì `x>0=>\sqrtx>0`
`=>\sqrtx-1=0<=>x=1(tm)`
Vậy `x=1=>\sqrtx+3=x+3`
6 tháng 7 2021
a) \(Q=\) \(\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\left(x>0;x\ne1\right)\)
\(Q=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(Q=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(Q=\dfrac{x+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(Q=\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(Q=\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) \(=\dfrac{2}{x-1}\) \(\left(đpcm\right)\).
b) Để \(Q\in Z\) <=> \(\dfrac{2}{x-1}\in Z\) <=> \(x-1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
Ta có bảng sau:
| x -1 | 1 | -1 | 2 | -2 |
| x | 2(TM) | 0(ko TM) | 3(TM) | -1(koTM) |
Vậy để biểu thức Q nhận giá trị nguyên thì \(x\in\left\{2;3\right\}\)
1 tháng 5 2022
1, vt : \(\left(1-\dfrac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\right).\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)
=\(\dfrac{\sqrt{2}+1-5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}.\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}+1}\)
=\(\dfrac{-4}{\sqrt{2}+1}.\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)
=\(\dfrac{-4\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}\)
=-4
2, A=\(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\div\dfrac{2}{x+\sqrt{x}-2}\)
=\(\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2}\)
=\(\left(\dfrac{x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right).\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2}\)
=\(\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2}\)
=\(\dfrac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)
Đầu tiên bạn rút gọn biểu thức G,mik phân tích được:
G=x - 3 \(\sqrt{x}+2\)
(do ko có thời gian nên mik ko giải thick đâu nha.khi nào rảnh mik giải thích cho nếu bạn muốn)
Ta có: G= \(x-3\sqrt{x}+2\)
4G= \(4x-12\sqrt{x}+8\)
= \(\left(2x-3\right)^2-1\)
vì 0 <x<1 nên 0<2x<1 =>-3<2x-3<-2
=>3>(2x-3)2>2
=>2>(2x-3)2>1
Vậy G luôn dương khi 0<x<1.
mik nhầm dòng thứ 2 dưới lên nha bạn sửa thành
2>(2x-3)2-1>1
xin lỗi nhiều nha.