Question

[2moro]

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và AB= a AD =2a . Dựng và tính độ dài các véc tơ

1) 2AO - BC 

2) OC  + 2AB

3) 3AB + 2OD 

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
1.

$\overrightarrow{2AO}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$

Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=a$

2.

Trên tia đối của $AC$ lấy $T$ sao cho $TA=OC$

Trên tia đối của $BA$ lấy $K$ sao cho $BA=BK$

$\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{TK}$

Ta có:

$TC=3OC=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}\sqrt{(2a)^2+a^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}a$

$CK=\sqrt{BC^2+BK^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$

$\cos \widehat{TCK}=\cos 2\widehat{TCB}=2\cos^2 \widehat{TCB}-1$

$=2(\frac{CB}{AC})^2-1=\frac{3}{5}$

Áp dụng định lý cos:

$TK^2=TC^2+CK^2-2TC.CK\cos \widehat{TCK}$

$=\frac{45}{4}a^2+5a^2-9a^2=\frac{29}{4}a^2$

$\Rightarrow TK=\frac{\sqrt{29}}{2}a$

3. Trên tia đối tia $CD$ lấy $M$ sao cho $CM=CD$

$3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{DC}+2\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DC}$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}$

$AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: