chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)>=8abc với a,b,c>=0 và a+b+c=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
BH
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2020
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(VT\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 2 2020
Lời giải:
Vì $A+B+C=1$ ta có:
$(1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)$
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
$B+C\geq 2\sqrt{BC}; C+A\geq 2\sqrt{CA}; A+B\geq 2\sqrt{AB}$
$\Rightarrow (1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)\geq 2\sqrt{BC}.2\sqrt{CA}.2\sqrt{AB}$
hay $(1-A)(1-B)(1-C)\geq 8ABC$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{1}{3}$
NL
Cho các số dương a,b,c không âm
Và a+b+c=1
Chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)lớn hơn bằng 8abc
Giúp mk với nha!
0
VK
4
3 tháng 5 2016
Mình trình bày hơi tắt 1 chút nhé 
Vì \(a+b+c=1\) nên \(\begin{cases}a+b=1-a\\a+c=1-b\\b+c=1-c\end{cases}\)
Ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=8abc\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\) (đpcm)
VK
2
VD
3 tháng 5 2016
\(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dễ thấy BĐt trên đúng theo Cô si:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Thiết lập cac BĐT tương tự và nhân lại ta có đpcm.
K
2
23 tháng 4 2017
tui làm đc là phải tịk nha!
a+b+c=1\(\Rightarrow\)1-a=b+c;1-b=c+a;1-c=a+b \(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\)(a+b)(b+c)(c+a)\(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)=8.abc\(\ge8\).dấu ''=''xảy ra khi một tong 3 số a;b;c là 1 2 số còn lại bằng 0
23 tháng 4 2017
Không có giá trị a,b,c thỏa mãn khi a.b,c là số dương và tổng bằng 1
18 tháng 7 2015
áp dụng bất đẳng thức cô-si với 2 số dương.
Ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)(vì a,b,c dương)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)
\(=8abc=VP\)
Khi \(a=b=c\)
BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc
TA có BDT cô si
a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)
Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc