Question

[vung nguyen thi]

Cho 3 số a,b,c thuộc [-1;1] và không đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+3}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\ge2\)

Answer 1

[Neet]

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)thì bài toán trở thành:

Cho \(x;y;z\in\left[0;1\right]\)và không đồng thời bằng 0.Cm:\(\dfrac{x^2y+y^2z+z^2x+3}{x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}}\ge2\)

Ta có: \(x^{1006}\le x^2\) vì \(\Leftrightarrow x^2\left(1-x^{1004}\right)\ge0\)(đúng vì \(0\le x\le1\))

Tương tự ta có: \(x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}\le x^2+y^2+z^2\)

( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1, 1 số bằng 0)

Lại có:\(x^2y\ge x^2y^2\Leftrightarrow x^2y\left(1-y\right)\ge0\left(true\right)\)

\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1, hoặc 2 số bằng 1,1 số bằng 0 ;hoặc chỉ cần 1 số bằng 0,1 số bằng 1)

Giờ ta cần chứng minh:

\(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3}{x^2+y^2+z^2}\ge2\Leftrightarrow\sum\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\ge0\)(đúng)

(Dấu = xảy ra ở đây là chỉ cần 2 số bằng 1)

Kết hợp cả 3 TH dấu = ta được:BĐT xảy ra khi cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1; 1 số bằng 0

Đó là x;y;z.Khi đổi về a;b;c thì còn hoán vị cả \(-1;1\)

P/s: rắc rối mỗi cái điểm rơi :V