Question

[Tokyo Mew Mew]

1)tìm dư trong phép chia: 5 ⁷⁰+7⁵⁰ cho 12

2)cho n thuộc N chứng minh rằng

a, 2.52ⁿ -18ⁿ -35ⁿ chia hết ch17

b,5³ⁿ⁺²+2²ⁿ⁺³chia hết cho 11

c,25ⁿ+7ⁿ -4ⁿ(3ⁿ +5ⁿ) chia hết cho 65 (n>0)

d, 5ⁿ (5ⁿ+3ⁿ)- 2ⁿ(9ⁿ+11ⁿ) chia hết cho 21

3) Tìm dư trong phép chia: 5⁷⁰+7⁵⁰ chia cho 12

4) Cho A= (a²⁰¹² +b²⁰¹²+c²⁰¹²) - (a²⁰⁰⁸+b²⁰⁰⁸+c²⁰⁰⁸)

(a,b,c \(\in\)Z₊)

CM: A chia hết cho 30

Ai bt câu nào thì giúp mik vs, mik cảm ơn ạ!

Answer 1

[TFBoys]

4. \(A=\left(a^{2012}-a^{2008}\right)+\left(b^{2012}-b^{2008}\right)+\left(c^{2012}-c^{2008}\right)\)

\(=a^{2008}\left(a^4-1\right)+b^{2008}\left(b^4-1\right)+c^{2008}\left(c^4-1\right)\)

\(=a^{2008}\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)+b^{2008}\left(b^2-1\right)\left(b^2+1\right)+c^{2008}\left(c^2-1\right)\left(c^2+1\right)\)

\(=a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)+b^{2007}\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)+c^{2007}\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\)

Dễ thấy a-1, a, a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)

Tương tự đối với b và c ta suy ra \(A⋮6\) (1)

Xét các số dư của a cho 5

- Nếu \(a⋮5\) thì \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)

- Nếu a chia 5 dư 1 thì \(\left(a-1\right)⋮5\) hay \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)

- Nếu a chia 5 dư 2 hoặc 3 thì \(\left(a^2+1\right)⋮5\) hay \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)

- Nếu a chia 5 dư 4 thì \(\left(a+1\right)⋮5\) nên \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)

Như vậy \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\) \(\forall a\in Z_+\)

Tương tự \(\left[b^{2007}\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)\right]⋮5\)

và \(\left[c^{2007}\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\right]⋮5\)

Do đó \(A⋮5\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A⋮30\)