Question

[Phong Nguyễn]

Chứng minh:

(A) Mọi số tự nhiên n lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của 2 số chính phương.

(B) Mọi số chính phương lẻ chia cho 8 có dư là 1.

Answer 1

[Trung Nguyen]

a) Gọi n=2k+1(k \(\in\) N*)

\(\Rightarrow\)n= (k²+2k+1) - k² = (k+1)² - k² (1)

^Mà k \(\in\) N*\(\Rightarrow\) k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) k² và (k+1)² là 2 số chính phương liên tiếp (2)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow\) đpcm

b) Gọi n=2k+1(k \(\in\) N*)

\(\Rightarrow\) n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1(1)

Lại có: k \(\in\) N* \(\Rightarrow\) k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) k(k+1) \(⋮2\)

\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)⋮8\) \(\Rightarrow\) 4k(k+1)+1 chia 8 dư 1(2)

Từ(1);(2)\(\Rightarrow\) n² chia 8 dư 1 với mọi n là số tự nhiên lẻ