Question

[công chúa Serenity]

Bài 1. Cho a, b, c, d \(\in\) N*.

Chứng tỏ rằng: \(M=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+d}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}\) có giá trị không là số nguyên.

Bài 2. Cho a, b \(\in\) N*. Chứng tỏ rằng:

a)\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

b)\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Answer 1

[Hoang Thiên Di]

Bài 2 : đề bài này chỉ cần a,b>0 , ko cần phải thuộc N* đâu

a, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số lhoong âm a,b ta được :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\) . Dấu "=" xảy ra khi a=b

b , Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân vế với vế ta được :

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2.2.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)

Dấu "="xảy ra tại a=b

Answer 2

[Go!Princess Precure]

Bài 1.

Vì a, b, c, d \(\in\) N*, ta có:

\(\dfrac{a}{a+b+c+d}< \dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}\)

\(\dfrac{b}{a+b+c+d}< \dfrac{b}{a+b+d}< \dfrac{b}{a+b}\)

\(\dfrac{c}{a+b+c+d}< \dfrac{c}{b+c+d}< \dfrac{c}{c+d}\)

\(\dfrac{d}{a+b+c+d}< \dfrac{d}{a+c+d}< \dfrac{d}{c+d}\)

Do đó \(\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}< M< \left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)+\left(\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c+d}\right)\)hay 1<M<2.

Vậy M không có giá trị là số nguyên.