Giải PT: \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{2x-3}\leq \frac{(2x-3)+1}{2}\)
\(\sqrt{5-2x}\leq \frac{(5-2x)+1}{2}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 3x^2-12x+14=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\leq \frac{(2x-3)+1}{2}+\frac{(5-2x)+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 3x^2-12x+14\leq 2\Leftrightarrow 3(x-2)^2\leq 0\)
Mà ta luôn biết rằng \((x-2)^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)
Do đó dấu bằng xảy ra khi \((x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\)
Thử lại thấy $x=2$ đúng là nghiệm của PT
PA
11 tháng 9 2017
\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\) \(\left(\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{5}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}-1+\sqrt{5-2x}-1=3x^2-12x+12\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-3-1}{\sqrt{2x-3}+1}+\dfrac{5-2x-1}{\sqrt{5-2x}+1}=3\left(x-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{2x-3}+1}+\dfrac{2\left(2-x\right)}{\sqrt{5-2x}+1}-3\left(x-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}-\dfrac{2}{\sqrt{5-2x}+1}-3\left(x-2\right)\right]\left(x-2\right)=0\)
3 tháng 7 2018
\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\) \(\left(\dfrac{3}{2}\text{≤}x\text{≤}\dfrac{5}{2}\right)\)
\(\text{⇔}2\sqrt{2x-3}+2\sqrt{5-2x}=6x^2-24x+28\)
\(\text{⇔}2x-3-2\sqrt{2x-3}+1+5-2x-2\sqrt{5-2x}+1+6x^2-24x+24=0\) \(\text{⇔}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{5-2x}-1\right)^2+6\left(x-2\right)^2=0\)
\(\text{⇔}x=2\left(TM\right)\)
KL.............
NM
0
VN
1
4 tháng 12 2018
a.ĐKXĐ:\(\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)
AD BĐT Cauchy ta được:
\(\sqrt{\left(2x-3\right)1}\le\frac{2x-3+1}{2}=\frac{2x-2}{2}=x-1\)
\(\sqrt{\left(5-2x\right)\cdot1}\le\frac{5-2x+1}{2}=\frac{6-2x}{2}=3-x\)
Do đó \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le x-1+3-x=2\)(1)
Lại có \(3x^2-12x+14=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le3x^2-12x+14\)
Dấu = khi x=2 (tm ĐKXĐ)
PHẦN b giải tương tự
MP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2021
ĐKXĐ: ...
\(VT\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)
\(VP=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3=5-2x\\x-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2021
1.
ĐKXĐ: ...
\(x^2-x+2=1\sqrt{x^2+x-1}+1\sqrt{x-x^2+1}\)
\(\Rightarrow x^2-x+2\le\dfrac{1}{2}\left(1+x^2+x-1\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+x-x^2+1\right)\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1\le0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow x=1\)
Thử lại ta thấy thỏa mãn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2021
b.
ĐKXĐ: ...
Ta có:
\(VP=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
\(VT=1\sqrt{2x-3}+1\sqrt{5-2x}\le\dfrac{1}{2}\left(1+2x-3\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+5-2x\right)=2\)
\(\Rightarrow VT\le VP\)
Đẳng thức xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\1=2x-3\\1=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\)
NP
1
26 tháng 4 2020
\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\left(1\right)\)
ĐKXĐ: \(\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{2x-3}=\sqrt{5-2x}\Leftrightarrow x=2\)
Ta lại có VP=3x2-12x+14=3(x-2)2+2 >=2
Dấu "=" xảy ra khi x=2
Do đó VT=VP <=> x=2 (ttmđk)
Vậy S={2}
HT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 12 2018
Ta có:
\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)
\(3x^2-12x+14=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
\(\Rightarrow\) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}3\left(x-2\right)^2=0\\2x-3=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)
19 tháng 12 2018
TXĐ : \(\left[\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right]\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopski :
\(VT^2=\left(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2x-3+5-2x\right)=4\)
\(\Rightarrow VT\le2\)
Xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{2x-3}}{1}=\dfrac{\sqrt{5-2x}}{1}\Rightarrow x=2\)(1)
\(VP=3x^2-12x+14=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
Xảy ra khi \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)(2)
Từ (1)(2) => Pt có nghiệm x=2
C
1
VT = \(\text{ }\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi 2x - 3 = 5- 2x => x = 2
VP = \(3x^2-12x+14=3\left(x^2-4x+4\right)+2=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
Dấu = xảy ra khi x = 2
=> VT = VP = 2 khi x = 2