Question

[Sách Giáo Khoa]

Chứng minh :

           \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)

Từ đó, chứng tỏ :

a) Với ba số \(x,y,z\) không âm thì :

                       \(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz\)

b) Với ba số a, b, c không âm thì :

                      \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

(Bất đẳng thức Cô - si cho ba số không âm)

Answer 1

[Nguyen Thuy Hoa]

Answer 2

[Nguyễn Thị Phụng]

Khai triển vế phải và rút gọn ,ta được kết quả vế phải bằng vế trái .

a )Nếu x ,y,z không âm thì x +y +z không âm .Suy ra

x³ +y³ +z³ -3xyz >=0.

Từ đó ,ta có \(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}>=xyz.\)

b ) Đặt x \(\sqrt[3]{a}\) ,y =\(\sqrt[3]{b}\) ,z =\(\sqrt[3]{c}\)

Ta thấy a ,b ,c không âm ,nên x ,y ,z không âm .Dựa vào kết quả câu a ) ta có

\(\dfrac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3+\left(\sqrt[3]{c}\right)^3}{3}>=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}\)

Suy ra \(\dfrac{a+b+c}{3}>=\sqrt[3]{abc}\)