Bài 1: Cho x,y,z $\in$ R. Chứng minh: 1019x2 18y4 1007z2 $\ge$ 30xy2 6y2z 2008zx Bài 2: Tìm 3 số thực x,y,z thỏa mãn: $\dfrac{2}{\sqrt{x} 2\sqrt{y} 3\sqrt{2}}-$\(\dfrac{1}{2\sqrt{xy} ...

NN

Nam Nguyễn

14 tháng 4 2017

Bài 1: Cho x,y,z $\in$ R. Chứng minh: 1019x2 + 18y4 + 1007z2 $\ge$ 30xy2 + 6y2z + 2008zx Bài 2: Tìm 3 số thực x,y,z thỏa mãn: $\dfrac{2}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+3\sqrt{2}}-$$\dfrac{1}{2\sqrt{xy}+6\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}}=\dfrac{1}{3}$ Bài 3: Cho a,b là 2 số thực dương thay đổi. P = $\sqrt{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{2015}{2014a+2006b+6\sqrt{ab}}$ Tìm GTNN của P Cần gấp. Ai giúp...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

SG

soyeon_Tiểubàng giải

14 tháng 4 2017

1) $1019x^2+18y^4+1007z^2$

$=\left(15x^2+15y^4\right)+\left(3y^4+3z^2\right)+\left(1004x^2+1004z^2\right)$

$\ge2\sqrt{15x^2.15y^4}+2\sqrt{3y^4.3z^2}+2\sqrt{1004x^2.1004z^2}=30xy^2+6y^2z+2008xz\left(đpcm\right)$

Đúng(0)

NN

Nam Nguyễn

14 tháng 4 2017

mơn bạn!!

Đúng(0)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

8 tháng 4 2021 - olm

a. Cho $x$, $y$ là hai số thực bất kì. Chứng minh $x^2 - xy + y^2 \ge \dfrac13(x^2+xy+y^2).$

b. Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương thỏa mãn $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 2$. Chứng minh

$\dfrac{x\sqrt x}{x +\sqrt{xy} + y} + \dfrac{y\sqrt y}{y +\sqrt{yz} + z} + \dfrac{z\sqrt z}{z +\sqrt{zx} + x} \ge \dfrac23.$

#Toán lớp 9

16

PT

Phạm Thành Đông

8 tháng 4 2021

a) Giả sử $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2$

$\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0$

$\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0$(luôn đúng với mọi $x,y\in R$).

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow x=y$.

Vậy $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$với $x,y\in R$.

Đúng(0)

PT

Phạm Thành Đông

8 tháng 4 2021

Đặt $A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)$

Và đặt $B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)$

Đặt $\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)$thì theo đề bài : $m+n+p=2$

Lúc đó:

$A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}$

$A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}$

Và $B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}$

Xét hiệu $A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)$

$\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0$

$\Leftrightarrow A=B$

Xét $A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}$

Theo câu a), ta có $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$với $x,y\in R$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

Áp dụng bất đẳng thức (1) (với $m,n>0$), ta được:

$\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m=n>0$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow n=p>0$

$\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow p=m>0$

Từ $\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)$, ta được:

$\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}$

$\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}$

$\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}$

$\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}$

$\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}$(vì $m+n+p=2$) (điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

$\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}$$\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}$

Vậy nếu $x,y,z>0$ và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2$thì: $\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}$.

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hoàng Sinh

22 tháng 12 2022 - olm

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1
Chứng minh rằng $\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

22 tháng 12 2022

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

$P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}$

$P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

Đúng(3)

BC

Big City Boy

17 tháng 1 2022

Tìm bộ ba số thực x, y, z thỏa mãn: $\dfrac{2}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+3\sqrt{z}}-\dfrac{1}{2\sqrt{xy}+6\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}}=\dfrac{1}{3}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 1 2022

Đặt $\left(\sqrt{x};2\sqrt{y};3\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a;b;c\ge0$

Ta có:

$\dfrac{2}{a+b+c}-\dfrac{1}{ab+bc+ca}\le\dfrac{2}{a+b+c}-\dfrac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=-3\left(\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{3}\le\dfrac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.$

Đúng(2)

NH

Nguyễn Hiếu

18 tháng 4 2021

cho các số dương X,Y,Z thỏa mãn :x$^3$+Y$^3$+Z$^3$=1

chứng minh rằng; $\dfrac{X^2}{\sqrt{1-X^2}}$+$\dfrac{Y^2}{\sqrt{1-Y^2}}$+$\dfrac{Z^2}{\sqrt{1-Z^2}}$$\ge$2

#Toán lớp 9

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

18 tháng 4 2021

Đề bài chắc chắn là có vấn đề

Thử với $x=y=z=\dfrac{1}{3}$ thì $VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2$

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

18 tháng 4 2021

Như bạn sửa điều kiện thành $x^3+y^3+z^3=1$ thì dấu "=" không xảy ra

Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:

$\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3$

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế

Nhưng đẳng thức không xảy ra.

Đúng(0)

PK

phạm kim liên

16 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy+yz+zx=2017. chứng minh : $\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{3}{2}$

#Toán lớp 9

1

EC

Edogawa Conan

16 tháng 8 2021

Ta có:$\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}$

$=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}\cdot\dfrac{z}{x+z}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}$

Tương tự ta có:$\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}}{2}$

$\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}$

Cộng vế với vế ta có:

$\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}$

$\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}$

$=\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}}{2}=\dfrac{1+1+1}{2}=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{3}}$

Đúng(1)

DH

dinh huong

17 tháng 8 2021

viết các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1,chứng minh rằng

$\sqrt{\dfrac{x^4+y^4+z}{3z^3}}+\sqrt{\dfrac{y^4+z^4+x}{3x^3}}+\sqrt{\dfrac{z^4+x^4+y}{3y^3}}\ge x^2+y^2+z^2$

Mọi người giúp em với em cần gấp ạ

#Toán lớp 9

0

ML

mai love N

31 tháng 1 2023 - olm

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2}+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

#Toán lớp 10

1

TH

Trần Hùng Minh

1 tháng 2 2023

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x + 1}{8} + \frac{x + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{3}{4}$

=> $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \geq \frac{3}{4} - \frac{x + 1}{4}$ (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1

CM tương tự ra có " $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{3}{4} - \frac{y + 1}{4}$ (2) ; $\frac{1}{{(z + 1)}^{2}} \geq \frac{3}{4} - \frac{z + 1}{4}$ (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1

Từ (1) (2) và (3) => $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} \geq \frac{3}{4} \cdot 3 - \frac{x + y + z + 3}{4}$ $\geq \frac{9}{4} - \frac{3 \sqrt[3]{x y z} + 3}{4} = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()

Đúng(1)

TG

Trúc Giang

29 tháng 7 2021

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn $x+y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2$

Chứng minh: $\dfrac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

29 tháng 7 2021

$a^2+b^2=\left(a+b-c\right)^2=a^2+\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)=b^2+\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)\\a^2=\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\dfrac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\dfrac{\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)^2}{\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2}$

$=\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\dfrac{a-c}{b-c}$ (đpcm)

Đúng(3)

TG

Trúc Giang

29 tháng 7 2021

em cảm ơn ạ! E ko ngờ lm thế này lun í

Đúng(0)

DA

Đức Anh Lê

7 tháng 4 2023

cho các số thực x,y,z thoả mãn x+y+z≥6.

Tìm minP=$\dfrac{x^2}{yz+\sqrt{1+x^3}}+\dfrac{y^2}{xz+\sqrt{1+y^3}}+\dfrac{z^2}{xy+\sqrt{1+z^3}}$

Cho mng tham khảo ạ

#Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

8 tháng 4 2023

Với a,b,c dưog thì $\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}$

$P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1+y^3}+\sqrt{1+z^3}}$

$\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}< =\dfrac{2+x^2}{2}$

Dấu = xảy ra khi x=2

=>$P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2+6}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+6}$

Đặt t=(x+y+z)^2(t>=36)

=>P>=2t/t-6

Xét hàm số $f\left(t\right)=\dfrac{t}{t+6}\left(t>=36\right)$

$f'\left(t\right)=\dfrac{6}{\left(t+6\right)^2}>=0,\forall t>=36$

=>f(t) đồng biến

=>f(t)>=f(36)=6/7

=>P>=12/7

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP