Question

[Nguyễn Võ Văn Hùng]

Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AA';BB';CC' giao nhau tại H

a) Tính tổng :​ HA'/AA'+HB'/BB'+HC'/CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC . IM,IN thứ tự là phân giác AIC AIB. C/m AN.BI.CM=BN.IC.AM

Answer 1

[Nguyễn Quang Định]

a) \(\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HA'.BC}{\dfrac{1}{2}.AA'.BC}=\dfrac{HA'}{AA'}\)

Tương tự: \(\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{HC'}{CC'};\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\dfrac{HB'}{BB'}\)

\(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{HAB}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

b) Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác: ADC; ABI; AIC, ta có:

\(\dfrac{BI}{IC}=\dfrac{AB}{AC};\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AI}{BI};\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{IC}{AI}\)

\(\dfrac{BI}{IC}.\)\(\dfrac{AN}{AB}.\)\(\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{AB}{AC}.\)\(\dfrac{AI}{BI}.\)\(\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{AB}{AC}.\)\(\dfrac{IC}{BI}\)

\(\Rightarrow BI.AN.CM=BN.IC.AM\)