Cho M = \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+.....+\dfrac{2015}{3^{2015}}\). CMR giá trị của M ko phải là 1 số nguyên.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 5 2023
Ta có thể viết lại M dưới dạng:
M = (1/2³) + (2/3³ - 1/2³) + (3/4³ - 2/3³) + … + (2022/2023³ - 2021/2022³)
= (1/2³) + [(2/3³ - 1/2³) + (3/4³ - 2/3³)] + … + [(2022/2023³ - 2021/2022³) + (2023/2024³ - 2022/2023³)]
= (1/2³) + (1/3³ - 1/2³) + … + (1/2023³ - 1/2022³)
= 1/2³ + (1/2³ - 1/3³) + (1/3³ - 1/4³) + … + (1/2022³ - 1/2023³)
Ta sử dụng kết quả sau đây: Với mọi số nguyên dương n, ta có
1/n³ > 1/(n+1)³
Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm hoặc khai triển. Do đó,
1/2³ > 1/3³
1/3³ > 1/4³
…
1/2022³ > 1/2023³
Vậy ta có
M = 1/2³ + (1/2³ - 1/3³) + (1/3³ - 1/4³) + … + (1/2022³ - 1/2023³) < 1/2³ + 1/3³ + 1/4³ + … + 1/2023³
Để chứng minh rằng M không phải là một số tự nhiên, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 không phải là một số tự nhiên. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp giả sử ngược lại và dẫn đến mâu thuẫn.
Giả sử tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 là một số tự nhiên, ký hiệu là S. Ta có:
S = 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + … + 1/2023³
Với mọi số nguyên dương n, ta có:
1/n³ < 1/n(n-1)
Do đó,
1/1³ < 1/(1x2)
1/2³ < 1/(2x3)
1/3³ < 1/(3x4)
...
1/2023³ < 1/(2023x2024)
Tổng các số hạng bên phải có thể được viết lại dưới dạng:
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(2023x2024) = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/2023 - 1/2024) = 1 - 1/2024 < 1
Vậy tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 cũng nhỏ hơn 1. Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng tổng này là một số tự nhiên. Do đó, giá trị của M không phải là một số tự nhiên.
VQ
26 tháng 4 2016
3M-M=1+1/3+1/3^2+ .............+1/3^2014-2015/3^2015
2M.3=3+1+1/3+.............+1/3^2013-1/3^2014
6M-2M=3-2/3^2014+2015/3^2015
TỰ LÀM NỐT
H
5 tháng 4 2021
Bạn ơi thiếu đề rồi, cái biểu thức này không tính được đâu , mình nghĩ thế
25 tháng 5 2017
\(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2015}}\)
\(\Rightarrow3B=1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{2014}}\)
\(\Rightarrow3B-B=\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{2014}}\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{2015}}\right)\)
\(\Rightarrow2B=1-\dfrac{1}{3^{2015}}\)
\(\Rightarrow B=\left(1-\dfrac{1}{3^{2015}}\right).\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3^{2015}.2}< \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Vậy...
AT
25 tháng 5 2017
\(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{2015}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{2006}}\)
\(\Rightarrow B-\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^{2006}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^{2006}}\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{2005}}\right)< \dfrac{1}{2}\)
\(\RightarrowĐpcm\)
11 tháng 12 2021
Áp dụng t/c dtsbn ta có:
\(\dfrac{a}{2b}=\dfrac{2b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+2b+c}{2b+c+a}=1\)
\(\dfrac{a}{2b}=1\Rightarrow a=2b\\ \dfrac{2b}{c}=1\Rightarrow c=2b\\ \dfrac{c}{a}=1\Rightarrow a=c\\ \Rightarrow a=2b=c\)
\(M=\dfrac{a^3.c^2.b^{2015}}{b^{2020}}=\dfrac{a^3.a^2}{b^5}=\dfrac{a^5}{b^5}=\dfrac{\left(2b\right)^5}{b^5}=\dfrac{32b^5}{b^5}=32\)
