Cho a,b,c thỏa mãn: abc=1 và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a}\)
CMR: Có ít nhất một phân số là bình phương của một trong hai số còn lại.
Giúp mk vs! Mk cảm ơn nhiều.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 11 2019
Đặt \(\left(\frac{a}{b^2},\frac{b}{c^2},\frac{c}{a^2}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(\Rightarrow xyz=\frac{abc}{a^2b^2c^2}=\frac{1}{abc}=1\)
Theo bài ra ta có : \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-x-y+1\right)-1+z\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-x-y+1\right)+z\left(x+y-1-xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)-z\left(x-1\right)\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(1-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b^2}{b^2}.\frac{b-c^2}{c^2}.\frac{a^2-c}{a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b^2\right)\left(b-c^2\right)\left(c-a^2\right)=0\)
Ta có đpcm
DV
6 tháng 3 2018
Ta có: ab2+bc2+ca2=a2c+b2a+c2bab2+bc2+ca2=a2c+b2a+c2b
⇔a3c2+b3a2+c3b2=b3c+c3a+a3b
⇔a3c2+b3a2+c3b2=b3c+c3a+a3b ( Do a2b2c2=abc=1)
⇔ a3c2+b3a2+c3b2 -b3c-c3a-a3b+a2b2c2-abc=0( Do a2b2c2=abc=1)
⇔(a2b2c2−a3c2)−(b3a2−a3b)−(c3b2−c3a)+(b3c−abc)=0
⇔(a2b2c2−a3c2)−(b3a2−a3b)−(c3b2−c3a)+(b3c−abc)=0
Tự phân tích thành nhân tử nhá: ⇔(b2−a)(c2−b)(a2−c)=0⇔(b2−a)(c2−b)(a2−c)=0
Đến đây suy ra ĐPCM
27 tháng 8 2019
1/ Đặt
\(\frac{a}{b^2}=x,\frac{b}{c^2}=y,\frac{c}{a^2}=z,xyz=1\)thì ta có
\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;y=1;z=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}=1;\frac{b}{c^2}=1;\frac{c}{a^2}=1\)
\(\Leftrightarrow a=b^2;b=c^2;c=a^2\)
27 tháng 8 2019
2/ Đặt
\(ab=x,bc=y,ca=z\) cần tính
\(P=\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{cases}}\)
Xét \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{x}.\frac{y+z}{y}.\frac{z+x}{z}=\frac{\left(-x\right)\left(-y\right)\left(-z\right)}{xyz}=-1\)
Xét \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
S
16 tháng 8 2018
Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{c^2}=y;\frac{c}{a^2}=z\) thì \(\frac{b^2}{a}=\frac{1}{x};\frac{a^2}{c}=\frac{1}{y};\frac{c^2}{b}=\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow xyz=\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{c^2}\cdot\frac{c}{a^2}=1\)
Ta có: \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=xy+yz+zx\)
Lại có: \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=1-x-y-z+x+y+z-1=0\)(vì xyz=1, xy+yz+zx=x+y+z)
=>x-1=0 hoặc y-1=0 hoặc z-1=0
=>x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
=>a/b2=1 hoặc b/c2=1 hoặc c/a2=1
=>a=b2 hoặc b=c2 hoặc c=a2 (ĐPCM)
S
16 tháng 8 2018
Cách khác
Ta có: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\)
<=>\(a^2b^2c^2\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right)=abc\left(\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}\right)\) (a2b2c2=abc=1)
<=>\(\frac{a^3b^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^3c^2}{c^2}+\frac{a^2b^2c^3}{a^2}=\frac{ab^3c}{a}+\frac{a^3bc}{c}+\frac{abc^3}{b}\)
<=>\(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2=b^3c+a^3b+c^3a\)
<=>\(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2-b^3c-a^3b-c^3a-a^2b^2c^2+abc=0\) (a2b2c2=abc=1)
<=>\(\left(a^3c^2-a^2b^2c^2\right)+\left(b^3a^2-a^3b\right)+\left(c^3b^2-c^3a\right)+\left(abc-b^3c\right)=0\)
<=>\(-a^2c^2\left(b^2-a\right)+a^2b\left(b^2-a\right)+c^3\left(b^2-a\right)-bc\left(b^2-a\right)=0\)
<=>\(\left(b^2-a\right)\left(-a^2c^2+a^2b+c^3-bc\right)=0\)
<=>\(\left(b^2-a\right)\left[c^2\left(c-a^2\right)-b\left(c-a^2\right)\right]=0\)
<=>\(\left(b^2-a\right)\left(c^2-b\right)\left(c-a^2\right)=0\)
Đến đây dễ rồi
đặt a2/c=x => c/a2=1/x
b2/a=y=>a/b2=1/y
c2/b=z=>b/c2=1/z
Dễ thấy xyz=1
từ đó ta có \(x+y+z=1/x+1/y+1/z\)
Xét (x-1)(y-1)(z-1) = 0
=>x=1 ; y=1 ;z =1
......