tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng \(p=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)-1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 8 2021
TH1: \(n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\) (với \(k\in N\)*)
\(p=\dfrac{2k\left(2k+1\right)}{2}-1=2k^2+k-1=\left(k+1\right)\left(2k-1\right)\)
Do \(k+1\ge2>1\) nên p nguyên tố khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}2k-1=1\\k+1\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)
\(2k-1=1\Rightarrow k=1\)
Khi đó \(p=2\) (thỏa mãn)
TH2: \(n\) lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\) (với \(k\in N\))
\(p=\dfrac{\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2}-1=\left(2k+1\right)\left(k+1\right)-1=2k^2+3k=k\left(2k+3\right)\)
Do \(2k+3\ge3>1\) nên p là nguyên tố khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}k=1\\2k+3\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)
Khi \(k=1\Rightarrow p=5\) là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy \(p=\left\{2;5\right\}\)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
20 tháng 8 2021
\(p=\frac{n\left(n+1\right)}{2}-1=1+2+...+n-1=2+3+...+n\)
\(p=2+3+...+n\)
\(p=n+n-1+...+2\)
\(2p=\left(n+2\right)+\left(n+2\right)+...+\left(n+2\right)=\left(n-1\right)\left(n+2\right)\)
\(p=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{2}\)
- Nếu \(n\)chẵn: \(p\)chia hết cho \(n-1\)và \(\frac{n+2}{2}\)
nên là số nguyên tố khi \(\orbr{\begin{cases}n-1=1\\\frac{n+2}{2}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\left(tm\right)\\n=0\left(l\right)\end{cases}}\)suy ra \(p=2\).
- Nếu \(p\)lẻ: \(p\)chia hết cho \(\frac{n-1}{2}\)và \(n+2\)
do đó là số nguyên tố khi \(\orbr{\begin{cases}\frac{n-1}{2}=1\\n+2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\left(tm\right)\\n=-1\left(l\right)\end{cases}}\)suy ra \(p=5\).
Vậy \(p=2\)hoặc \(p=5\).
LN
1
TV
15 tháng 7 2021
n có dạng 2k, 2k+1
nếu n có dạng 2k thì p= (n-1)(n+2)/2=(2k-1).(2k+2)/2=(2k-1)(k+1) mà p là số nguyên tố suy ra
\(\orbr{\begin{cases}2k-1=1\\k+1=1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2k=2\\k=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=1\\k=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}n=2\\n=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}p=2\left(N\right)\\p=-1\left(L\right)\end{cases}}}\)
nếu n có dạng 2k+1 thì p= (n-1)(n+2)/2=k.(2k+3) mà p là số nguyên tố suy ra
\(\orbr{\begin{cases}k=1\\2k+3=1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=1\\2k=-2\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=1\\k=-1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}n=3\\n=-1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}p=5\left(N\right)\\p=-1\left(L\right)\end{cases}}}\)
vậy n=2 và n=3 thì p là số nguyên tố hay p=5,p=3 là số nguyên tố có dạng (n-1)(n+2)/2
HT
0
1 tháng 7 2015
\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}+1=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}+\frac{6}{6}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+6}{6}\)
Nếu n=1 thì ta có: [1(1+1)(1+2)+6]/6=[1*2*3+6]/6=12/6=2(là số nguyên tố)
Nếu n=2 thì ta có: [2(2+1)(2+2)+6]/6=[2*3*4+6]/6=24/6=4(ko phải là số nguyên tố)
Nếu n=3 thì ta có: [3(3+1)(3+2)+6]/6=[3*4*5+6]/6=11(là số nguyên tố)
Nếu n=4 thì ta có: [4*5*6+6]/6=120/6=20(ko phải là số nguyên tố)
cứ như vậy tiếp dần thì ta chỉ có n=1 thì p mới là số nguyên tố, thì p=2
Vậy tất cả các số nguyên tố p cần tìm chỉ có thể p=2
cái này mk ko chắc lắm đâu, chưa làm dạng này bao giờ
NH
0
R
0
31 tháng 8 2016
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)
Có ƯCLN (2,3) = 1
Nên: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\)
Lại có: \(1=\frac{6}{6}⋮6\)
Vậy: \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}+1\)
Ta có \(p=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)-1=\frac{n^2+n-2}{2}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{2}\). Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(n\) là số nguyên lớn hơn \(1\).
Với \(n=2\to p=2\) thỏa mãn.
Với \(n=3\to p=5\) thỏa mãn
Với \(n\ge4:\) Nếu \(n\) là số chẵn thì \(p=\left(n-1\right)\cdot\frac{n+2}{2}\) là tích của hai số lớn hơn \(1\) nên \(p\) không phải là số nguyên tố. Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(p=\frac{n-1}{2}\cdot\left(n+2\right)\) là tích của hai số lớn hơn \(1\) nên \(p\) không phải là số nguyên tố.
Vậy chỉ có 2 số nguyên tố thỏa mãn là \(p=2,5.\)