CMR đa thức:
\(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)^{10}-2\)
chia hết cho đa thức x-1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JY
2
28 tháng 10 2017
Ta có : \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)-2=\left(x-1\right).Q\left(x\right)+r\)(1)
\(\Rightarrow r\) là số dư
Thay x = 1 vào pt (1) ta có : \(\left(1^2+1-1\right)^{10}+\left(1^2-1+1\right)-2=\left(1-1\right).Q\left(1\right)+r\)
\(\Leftrightarrow1+1-2=r\Rightarrow r=0\)
Do phét chia trên có số dư là 0 nên \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)-2\) chia hết cho \(x-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(x^3=x^3-1+1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)
\(\Rightarrow x^3\equiv1\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)
Và \(xQ\left(x^3\right)\equiv xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x^3\right)+xQ\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)+xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\) với mọi x nguyên
\(\Rightarrow P\left(1\right)+x.Q\left(1\right)\) chia hết \(x^2+x+1\) với mọi x nguyên
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)\) có nghiệm \(x=1\) hay \(P\left(x\right)\) chia hết cho \(x-1\)
24 tháng 3 2022
Cám ơn thầy Lâm ạ, ôi nhưng đây quả là bài toán khá hóc búa thầy ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2021
Lời giải:
Sử dụng bổ đề. Với $f(x)$ có hệ số nguyên thì $f(a)-f(b)\vdots a-b$ với $a,b$ là nguyên khác nhau.
Áp dụng vào bài toán, ta dễ dàng chỉ ra $g(x^3)-g(-1)\vdots x^3+1\vdots x^2-x+1(1)$
Giả sử $f(x)=x^2+xg(x^3)\vdots x^2-x+1$
$\Leftrightarrow g(x^3)+x\vdots x^2-x+1(2)$
$(1);(2)\Rightarrow x+g(-1)\vdots x^2-x+1$ (vô lý)
Do đó ta có đpcm.
BC
3 tháng 3 2021
Akai Haruma Giáo viên, mk ko hiểu cái chỗ g(x^3)+x chia hết cho x^2-x+1 với cái dòng tiếp theo ngay sau đó ấy. Bn giải thích rõ đc ko??
17 tháng 5 2023
\(\dfrac{G\left(x\right)}{P\left(x\right)}\)
\(=\dfrac{x^6-1+ax^2+bx+3}{x^2-x+1}\)
\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)+\dfrac{ax^2-ax+a+\left(b+a\right)x+3-a}{x^2-x+1}\)
\(=A+\dfrac{\left(b+a\right)x+3-a}{x^2-x+1}\)
G(x) chia hêt cho P(x)=0
=>3-a=0 và a+b=0
=>a=3 và b=-3
