Cho x, y, z > 0. CM: \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+xy}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2016
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
4 tháng 6 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{9}=1.\)(đpcm)
4 tháng 6 2019
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
( áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=a\\\frac{y}{z}=b\\\frac{z}{x}=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow abc=1\)
\(P=\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a}+\frac{2a}{b}-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(P=2ab^2+2bc^2+2a^2c-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(ab^2+a\ge2ab\Rightarrow ab^2\ge2ab-a\) ; \(ab^2+\frac{1}{a}\ge2b\Rightarrow ab^2\ge2b-\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow2ab^2\ge2ab+2b-a-\frac{1}{a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\ge2\left(ab+ac+bc\right)+2\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{abc}-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
S
5 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Cosi dạng engel ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\) (vì x+y+z=1)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
5 tháng 8 2018
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\)
\(=\frac{9}{\left(x+y+z^2\right)}=\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3
LH
22 tháng 4 2019
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(P=\frac{\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2xz}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2xy}}\right)^2\right]\left[\sqrt{x^2+2yz}^2+\sqrt{y^2+2xz}^2+\sqrt{z^2+2xy}^2\right]}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(Bunyakovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x}{x^2+2yz}=\frac{y}{y^2+2xz}=\frac{z}{z^2+2xy}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy GTNN P=1 <=> x=y=z
LH
22 tháng 4 2019
Ngay ở trên hai cái [...] [...] nhân với nhau ấy, tại nó dài quá
29 tháng 4 2020
Ta có:
\(15\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=10\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+2014\)
\(\le10\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+2014\)
=> \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\le\frac{2014}{5}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2yz}}+\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2zx}}+\frac{1}{\sqrt{5z^2+2zx+2xy}}\)
=> \(P\sqrt{\frac{2014}{135}}=\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2yz}.\sqrt{\frac{135}{2014}}}\)
\(+\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2zx}\sqrt{\frac{135}{2014}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{135}{2014}}\sqrt{5z^2+2zx+2xy}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5x^2+2xy+2yz}+\frac{2014}{135}+\frac{1}{5y^2+2yz+2zx}+\frac{2024}{135}+\frac{1}{5z^2+2yz+2zx}+\frac{2014}{135}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{81}\left(\frac{5}{x^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{5}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{5}{z^2}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}\right)+\frac{2014}{45}\right]\)
\(=\frac{5}{162}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\frac{2}{81}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{1007}{45}\)
\(\le\frac{5}{162}.\frac{2014}{5}+\frac{2}{81}.\frac{2014}{5}+\frac{1007}{45}=\frac{2014}{45}\)
=> \(P\le\frac{2014}{45}:\sqrt{\frac{2014}{135}}=3\sqrt{\frac{2014}{135}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = \(\sqrt{\frac{15}{2014}}\)
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\) (bạn tự chứng minh)
Được : \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\) (đpcm)
Ta có : \(\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)