Cho 3 số thực a,b,c thay đổi .Tìm gtln của biểu thức :
P=\(3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}{6}}-2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2021
Lời giải:
Theo hệ quả quen thuộc của bđt AM-GM:
$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\leq 9$
$\Rightarrow a+b+c\leq 3$ (đpcm)
Từ đây ta có:
\(E\leq \frac{a}{\sqrt[3]{(a+b+c)a+bc}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(a+b+c)b+ac}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c(a+b+c)+ab}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt[3]{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt[3]{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{a}{2}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{b}{2}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c})+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{c}{2}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})\)
\(=\frac{\sqrt[3]{2}(a+b+c)}{6}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})\leq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
Vậy.................
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 8 2021
\(3\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}\le\dfrac{a}{\sqrt[3]{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{\dfrac{a}{a+b}.\dfrac{a}{a+c}.\dfrac{a}{2}}\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Cộng vế và rút gọn:
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(3+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
25 tháng 2 2022
Ta có : \(9=a^2+a^2+b^2+a^2+b^2+bc+bc+c^2+c^2\ge9\sqrt[9]{a^6\cdot b^6\cdot c^6}=9\sqrt[3]{a^2\cdot b^2\cdot c^2}\Rightarrow abc\le1\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương : \(a^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{b^6}}=4\sqrt{\dfrac{a}{b^3}}\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{3}{b^2}}\ge2\cdot\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}\)
CM tương tự ta được: \(\sqrt{b^2+\dfrac{3}{c^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}};\sqrt{c^2+\dfrac{3}{a^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\Rightarrow P\ge2\cdot\left(\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\right)\ge2\cdot3\cdot\sqrt[12]{\dfrac{a}{b^3}\cdot\dfrac{b}{c^3}\cdot\dfrac{c}{a^3}}=6\sqrt[12]{\dfrac{1}{\left(abc\right)^2}}=6\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
24 tháng 12 2018
bai nay t lam roi vao trang chu cua nick thangbnsh cua t keo xuong tim la thay
24 tháng 12 2018
Câu hỏi của Tuyển Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
20 tháng 5 2018
Ta có: \(P=\dfrac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)
\(=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{\left(a+b+c\right)b+ca}}+\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)+ab}}\)\(=\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{ab+b^2+bc+ca}}+\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+ac+ab+bc}}\)\(=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{ca}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\dfrac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\)\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+c}+\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{a+c}+\dfrac{b^2}{b+c}\right)\)
(Theo BĐT cauchy với \(a,b,c>0\) )
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\right)=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{6^2}{4.3}\right)=\dfrac{3}{2}\)
(theo BĐT cauchy schwarz)
Vậy Max P =\(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2 2018
Lời giải:
Từ \(ab+bc+ac=1\Rightarrow a^2+ab+bc+ac=a^2+1\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=a^2+1\)
Tương tự: \(\left\{\begin{matrix} b^2+1=(b+c)(b+a)\\ c^2+1=(c+a)(c+b)\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(A=\frac{(b^2+bc)(c^2+ca)(a^2+ab)}{\sqrt{(a^4+a^2)(b^4+b^2)(c^4+c^2)}}\) \(=\frac{b(b+c)c(c+a)a(a+b)}{\sqrt{a^2b^2c^2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}\)
\(=\frac{abc(a+b)(b+c)(c+a)}{abc\sqrt{(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}}\) \(=\frac{abc(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}=1\)
Vậy \(A=1\)
mong mn giúp mk vs