Question

[Lương Nhất Chi]

Giúp tớ nhé!

Cho 2a +1 và 3a+1 là 2 số chính phương.Chứng tỏ A chia hết cho 40

cảm ơn các bạn trước nhé

Answer 1

[Chipu khánh phương]

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để: 
2a + 1 = n^2 (1) 
3a +1 = m^2 (2) 
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được: 
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 
=> a = 2k(k+1) 
vậy a chẵn . 
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1 
(1) + (2) được: 
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1 
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1) 
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8 

ta cần chứng minh a chia hết cho 5: 
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9 
xét các trường hợp: 
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7) 

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

=> a chia hết cho 5 

5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40 
hay : a là bội số của 40

   

Answer 2

[Nguyễn Phương HÀ]

Trước hết nên biết: $a^2\equiv 0,1\left(\mathrm{mod}4\right),a^2\equiv 0,1,4\left(\mathrm{mod}8\right)$và $a^2\equiv 0,1,4\left(\mathrm{mod}5\right)$ với  nguyên dương.

Do đó, ta thấy:

• $2n+1+3n+1=5n+2$. Tổng hai số chính phương chia $5$ dư $2$ nên cả hai số đều chia  dư , suy ra $2n+1$chia hết cho  nên $5|n$
• Ta thấy $2n+1$là số chính phương lẻ, nên chỉ có thể $2n+1\equiv 1\left(\mathrm{mod}8\right)\Rightarrow n\equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right)$. Như vậy $4|n$, tức $3n+1$ là số chính phương lẻ, nên $3n+1\equiv 1\left(\mathrm{mod}8\right)\Rightarrow 3n\equiv 0\left(\mathrm{mod}8\right)$ mà $(3,8)=1$ nên $8|n$

Vì $(5,8)=1$ nên $40|n$.