Chứng minh bất đẳng thức :
abc > ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )
với a , b,c là độ dài của 3 cạnh tam giác
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KR
1
VD
5 tháng 5 2016
Ta có (x+y)2>0 <=>x2+y2>2xy
=>x2+2xy+y2>4xy
=>4xy<(x+y)2
=>xy<(x+y)2/4
Theo BDT tam giác ta có : a+b-c>0;b+c-a>0
Áp dụng BDT trên ta dc :
(a+b-c)(b+c-a)<(a+b-c+b+c-a)2/4=4b2/4=b2
(a+b-c)(c+a-b)<(a+b+c+a-b)2/4=a2
(b+c-a)(c+a-b)<(b+c-a+c+a-b)2/4=c2
=>(a+b-c)2(b+c-a)2(a+c-b)2=a2+b2+c2
=>abc> (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) (dpcm)
BD
4 tháng 6 2016
Ta có :
(b+c-a)(b+a-c)=b2-(c-a)2\(\le\) b2
(c+a-b)(c+b-a)=c2_(a-b)2\(\le\) c2
(a+b-c)(a+b-c)=a2-(b-c)2\(\le\) a2
nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ,ta được :
[(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]2\(\le\) [abc]2
các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên :
(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\(\le\) abc
dấu "=" xảy ra khi a=b=c
TN
4 tháng 6 2016
đặt b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z thì x,y,z>0
theo bất đẳng thức (x+y)(y+z)(z+x)\(\ge\) 8xyz
=> 2a.2b.2c\(\ge\) 8(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=>abc \(\ge\) (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
xảy ra đẳng thức khi và chỉ khí a=b=c
10 tháng 12 2015
Có:\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)vì a,b,c>0
tương tự \(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từ vế lại \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
22 tháng 1 2019
Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất,chẳng hạn \(a\le c\).
Khi đó:\(a^2\le c^2\)và \(b^2\le\left(a+c\right)^2\le4c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2< 5c^2\)(trái với giả thiết)
\(\Rightarrow\)điều giả sử sai
\(\Rightarrow\)điều ngược lại đúng,tức là c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.
VV
2 tháng 2 2016
a+b+c => a+b= -c
=> (a+b)2 = (-c)2
=> a3+b3+3ab(a+b) = -c2
=> a3+b3+c3 = -3ab(a+b)
=> a2+b2+c2 = -3ab(-c) = 3abc
KT
29 tháng 4 2018
C/m BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (*) (x,y dương)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (BĐT đã đc chứng minh)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
ÁP dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\) (1)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)
Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Khi đó \(\Delta ABC\)là tam giác đều
Ta có :
( b + c - a ) ( b + a - c ) = b2 - ( c - a )2 < b2
( c + a - b ) ( c + b - a ) = c2 - ( a - b ) 2 < c2
( a + b - c ) ( a + c - b ) = a2 - ( b - c )2 < a2
Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ta được
[ ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) ]2 < [ abc ]2
Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên
( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) < abc
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b =c