Tính tích phân :
\(I=\int^{\ln3}_1\left(x^2-2x\right)e^xdx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PD
1
TA
8 tháng 4 2016
\(I=\int\limits^1_0\left(x+e^{2x}\right)xdx=\int\limits^1_0x^2dx+\int\limits^1_0xe^{2x}dx=I_1+I_2\)
\(I_1=\int\limits^1_0x^2dx=\frac{x^3}{3}|^1_0=\frac{1}{3}\)
Đặt \(\begin{cases}dv=e^{2x}dx\\u=x\end{cases}\) ta có \(\begin{cases}v=\frac{e^{2x}}{2}\\du=dx\end{cases}\)
\(I_2=\frac{xe^{2x}}{2}|^1_0-\int\limits^1_0\frac{e^{2x}}{2}dx=\left(\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\right)|^1_0=\frac{e^2+1}{4}\)
\(I=I_1+I_2=\frac{e^2+1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3e^2+7}{12}\)
LN
1 tháng 4 2017
a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt u= ln(1+x)
dv= xdx
=> ,
Ta có: ∫xln(1+x)dx =
=
b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:
Đặt u= (x2+2x -1) và dv=exdx
Suy ra du = (2x+2)dx, v = ex
. Khi đó:
∫(x2+2x - 1)exdx = (x2+2x - 1)exdx - ∫(2x+2)exdx
Đặt : u=2x+2; dv=exdx
=> du = 2dx ;v=ex
Khi đó:∫(2x+2)exdx = (2x+2)ex - 2∫exdx = ex(2x+2) – 2ex+C
Vậy
∫(x2+2x+1)exdx = ex(x2-1) + C
Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x2-1)exdx. Đặt u = x2-1 và dv=exdx.
Đáp số : ex(x2-1) + C
c) Đáp số:
HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx
d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.
HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2017
Câu 1)
\(I=\int \ln ^3 xdx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^3x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{3\ln ^2x}{x}dx\\ v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x\ln ^3x-3\int \ln^2xdx\)
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln ^2xdx\) như trên, ta suy ra:
\(\int\ln ^2xdx=x\ln^2x-2\int \ln x dx\).
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln xdx\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+c\)
Do đó mà \(I=x\ln ^3x-3(x\ln^2x-2x\ln x+2x)+c\)
\(\Leftrightarrow I=x\ln^3x-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2017
Câu 2)
\(I=\int ^{1}_{0}(x+\sin ^2x)\cos x dx=\int ^{1}_{0}x\cos xdx+\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{1}_{0} x\cos xdx=\sin 1+\cos 1-1\)
Còn \(\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx=\int ^{1}_{0}\sin ^2xd(\sin x)=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\sin ^3x}{3}=\frac{\sin^31}{3}\)
\(\Rightarrow I=-1+\sin 1+\cos 1+\frac{\sin ^3 1}{3}\approx 0,0173\)
GV
Giáo viên Toán
Giáo viên
4 tháng 5 2017
a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)
\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)
Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)
Suy ra:
\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)
\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)
Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:
(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)
\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)
GV
Giáo viên Toán
Giáo viên
4 tháng 5 2017
b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)
DT
1
4 tháng 4 2016
\(I=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\left(x-2\right)d\left(e^{2x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(x-2\right)e^{2x}|^1_0-\int\limits^1_0e^{2x}d\left(x-2\right)\right]=\frac{1}{2}\left[-e^2+2-\int\limits^1_0e^{2x}dx\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[-e^2+2-\frac{1}{2}e^{2x}|^1_{ }\right]=\frac{1}{2}\left[-e^2+2-\frac{1}{2}\left(e^2-1\right)\right]\)
\(=-\frac{3}{4}e^2+\frac{5}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2019
\(I=\int\dfrac{x}{1-cos2x}dx=\int\dfrac{x}{2sin^2x}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{x}{2}\\dv=\dfrac{1}{sin^2x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{2}\\v=-cotx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int cotxdx=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{cosx.dx}{sinx}\)
\(=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(sinx\right)}{sinx}=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}ln\left|sinx\right|+C\)
2/ Câu 2 bữa trước làm rồi, bạn coi lại nhé
3/ \(I=\int\left(2x+1\right)ln^2xdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln^2x\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{2lnx}{x}dx\\v=x^2+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln^2x-\int\left(2x+2\right)lnxdx=\left(x^2+x\right)ln^2x-I_1\)
\(I_1=\int\left(2x+2\right)lnx.dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\left(2x+2\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x^2+2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\left(x^2+2x\right)lnx-\int\left(x+2\right)dx=\left(x^2+2x\right)ln-\dfrac{x^2}{2}+2x+C\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln^2x-\left(x^2+2x\right)lnx+\dfrac{x^2}{2}-2x+C\)
4/ \(I=\int\left(2x-1\right)cosx.dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2x-1\\dv=cosx.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=sinx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(2x-1\right)sinx-2\int sinx.dx=\left(2x-1\right)sinx+2cosx+C\)
5/ \(I=\int\left(x^2+x+1\right)e^xdx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(2x+1\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x+1\right)e^x-\int\left(2x+1\right)e^xdx\)
\(I_1=\int\left(2x+1\right)e^xdx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\left(2x+1\right)e^x-2\int e^xdx=\left(2x+1\right)e^x-2e^x+C=\left(2x-1\right)e^x+C\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x+1\right)e^x-\left(2x-1\right)e^x+C=\left(x^2-x+2\right)e^x+C\)
6/ \(I=\int\left(2x+1\right).ln\left(x+2\right)dx\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x+2\right)\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x+2}\\v=x^2+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\int\dfrac{x^2+x}{x+2}dx\)
\(=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\int\left(x-1+\dfrac{2}{x+2}\right)dx\)
\(I=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\dfrac{x^2}{2}+x-2ln\left|x+2\right|+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2019
Nhớ quy tắc ưu tiên khi tính nguyên hàm từng phần:
- Đặt u sẽ ưu tiên các hàm ln, log đầu tiên (luôn luôn đặt các hàm này là u nếu có mặt), sau đó đến các hàm đa thức P(x), sau đó là lượng giác hoặc e^
- Đặt dv thì theo thứ tự ngược lại, ưu tiên đặt lượng giác (sin, cos) và e^
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2023
Đặt \(2x+2=u\Rightarrow2xdx=du\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=2\\x=2\Rightarrow u=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^6_2f\left(u\right).\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(u\right)du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}.6=3\)
\(I=\int\limits^{\ln3}_1\left(x^2-2x\right)de^x=\left(x^2-2x\right)e^x|^{\ln3}_1-\int\limits_1^{\ln3}e^xd\left(x^2-2x\right)=3\left(\ln^23-2\ln3\right)+e-2\int\limits^{\ln3}_1\left(x-1\right)e^xdx\)
\(\int\limits^{\ln3}_1\left(x-1\right)e^xdx=k\)
Lại có :
\(k=\int\limits^{\ln3}_1\left(x-1\right)de^x=\left(x-1\right)e^x|^{\ln3}_0-\int\limits^{\ln3}_0e^xd\left(x-1\right)=3\left(\ln3-1\right)-e^x|^{\ln3}_0=3\ln3-6+e\)
Do đó :
\(I=3\left(\ln^23-2\ln3\right)+e-2\left(3\ln3-6+e\right)=3\ln^23-12\ln3+12-e\)