Question

[Trương Văn Châu]

Giải phương trình :

\(3^{\cos x}-2^{\cos x}=\cos x\)

Answer 1

[Mai Linh]

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^{\cos\alpha}-t\cos\alpha\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=\left(t^{\cos\alpha}-1\right)\cos\alpha\)

Khi đó \(f\left(3\right)=f\left(2\right)\) và \(f\left(1\right)\) khả vi liên tục trên \(\left[2;3\right]\) Theo định lí Lagrange thì tồn tại \(c\in\left[2;3\right]\) sao cho :

\(f'\left(c\right)=\frac{f\left(3\right)-f\left(2\right)}{3-2}\) hay \(\left(c^{\cos\alpha-1}-1\right)\cos\alpha\)

Từ đó suy ra :

\(\begin{cases}\cos\alpha=0\\\cos\alpha=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\\\alpha=k\pi\end{cases}\) \(\left(k\in Z\right)\)

Thử lại ta thấy các giá trị này đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi;x=k\pi\) và \(\left(k\in Z\right)\)