tính các nguyên hàm sau
\(\int\left(x^3-2\right)^2xdx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
19 tháng 3 2016
a) Áp dụng đồng nhất thức \(\cos^2x+\sin^2x=1\)
ta có : \(\int\frac{1}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int\frac{dx}{\cos^2x}\)
\(=-\cot x+\tan x+C\)
G
19 tháng 3 2016
b) Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm ta thu được :
\(\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\int\left(\tan^2x+2+\cot^2x\right)dx\)
\(=\int\left[\left(\tan^2x+1\right)+\left(\cot^2x+1\right)\right]dx\)
\(=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sin^2x}\)
\(=\tan x-\cot x+C\)
22 tháng 1 2016
a) Mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm thực và không có nghiệm thực.
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\left(1\right)\)
Tay x=1 vào 2 tử, ta có : 2=2A, vậy A=1
Do đó (1) trở thành :
\(\frac{1\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(B+1\right)x^2+\left(C-B\right)x+1-C}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}B+1=1\\C-B=2\\1-C=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}B=0\\C=2\\A=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2+1}\)
Vậy :
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac{1}{x-1}dx+2\int\frac{1}{x^2+1}=\ln\left|x+1\right|+2J+C\left(2\right)\)
* Tính \(J=\int\frac{1}{x^2+1}dx.\)
Đặt \(\begin{cases}x=\tan t\rightarrow dx=\left(1+\tan^2t\right)dt\\1+x^2=1+\tan^2t\end{cases}\)
Cho nên :
\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{1+\tan^2t}\left(1+\tan^2t\right)dt=\int dt=t;do:x=\tan t\Rightarrow t=arc\tan x\)
Do đó, thay tích phân J vào (2), ta có :
\(\int\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\ln\left|x-1\right|+arc\tan x+C\)
22 tháng 1 2016
b) Ta phân tích
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}=\frac{A}{\left(x-1\right)^3}+\frac{B}{\left(x-1\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+3}\)\(=\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x-1\right)\left(x+3\right)+C\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)+D\left(x-1\right)^3}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}\)
Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số, ta được :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow2=4A\rightarrow A=\frac{1}{2}\\x=-3\rightarrow10=-64D\rightarrow D=-\frac{5}{32}\end{cases}\)
Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số, ta cso hệ hai phương trình :
\(\begin{cases}0=C+D\Rightarrow C=-D=\frac{5}{32}\\1=3A-3B+3C-D\Rightarrow B=\frac{3}{8}\end{cases}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\)
Vậy :
\(\int\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}dx=\)\(\left(\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\right)dx\)
\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|x-1\right|-\frac{5}{32}\ln\left|x+3\right|+C\)
\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
1.
\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)
Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)
\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)
\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)
\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
2.
\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)
\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)
\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)
18 tháng 1 2016
a)
\(\int\frac{2\left(x_{ }+1\right)}{x^2+2x_{ }-3}dx=\int\frac{2x+2}{x^2+2x-3}dx\)
\(=\int\frac{d\left(x^2+2x-3\right)}{x^2+2x-3}=ln\left|x^2+2x-3\right|+C\)
18 tháng 1 2016
b)\(\int\frac{2\left(x-2\right)dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{2x-4dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{d\left(x^2-4x+3\right)}{x^2-4x+3}=ln\left|x^2-4x+3\right|+C\)
SC
13 tháng 1 2022
Thầy mình bảo bài này trong đề thi không có nên thầy ghi mỗi đáp số thôi :vv Mình mò mãi cũng không biết giải kiểu gì nữa
HT
20 tháng 3 2021
Cách này hơi dài chút, nhưng nếu nghĩ ra cách hay hơn mình sẽ đề xuất nhe!
\(=\int\sin^5x.\left(2\sin x\cos x\right)^3.2xdx=16\int x.\sin^8x\cos^3xdx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\sin^8x.\cos^3xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\int\sin^8x.\cos^3xdx\end{matrix}\right.\)
\(I_1=\int\sin^8x\cos^3xdx=\int\sin^8x.\cos^2x.\cos xdx=\int\sin^8x.\left(1-\sin^2x\right)\cos xdx\)
\(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\Rightarrow\int\sin^8x\left(1-\sin^2x\right)\cos xdx=\int(t^8-t^{10})dt=\dfrac{1}{9}t^9-\dfrac{1}{11}t^{11}=\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{I}{16}=x.\left(\dfrac{1}{9}\sin^9x-11\sin^{11}x\right)-\int\left(\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\right)dx\)
\(I_2=\int\left(\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\right)dx=\dfrac{1}{9}\int\sin^9xdx-\dfrac{1}{11}\int\sin^{11}xdx\)
À thế này là xong rồi còn gì :) Bạn tự làm nốt nhé
TA CÓ
\(\int\left(x^3-2\right)^2xdx=\int\left(x^6-4x^3+4\right)xdx=\int\left(x^7-4x^4+4x\right)dx=\frac{x^8}{8}-\frac{4x^5}{5}+2x^2+C\)