Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1\)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị (\(C_m\)) của hàm số đã cho và đường thẳng \(y=2mx-4m+3\) luôn có 1 điểm chung cố định
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
24 tháng 10 2021
\(y=mx^3+2mx^2+\left(1-m\right)x+3-2m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+2x^2-x-2\right)m+\left(x-y+3\right)=0\)
Gọi \(\left(x_0\text{;}y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^3+2x_0^2-x_0-2=0\left(a\right)\\x_0-y_0+3=0\end{matrix}\right.\)
PT (a) có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định.
Giải pt ra 3 điểm đó là \(A\left(1\text{;}4\right),B\left(-1\text{;}2\right),C\left(-2\text{;}1\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2\text{;}-2\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(-3\text{;}-3\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) => Vector AB và vector AC cùng hướng.
Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
3 tháng 5 2016
Hai điểm cực trị của \(\left(C_1\right)\) là : \(A\left(0;3\right);B\left(2;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\)
Phương trình AB : \(2x+y-3=0\)
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m-1\right)\)
\(x_0=1\Rightarrow y_0=2m-1;y'\left(x_0\right)=-3m\)
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta:y=-3m\left(x-1\right)+2m-1\)
hay \(3mx+y-5m+1=0\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\cos\left(AB;\Delta\right)=\cos60^0=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|6m+1\right|}{\sqrt{5\left(9m^2+1\right)}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow4\left(6m+1\right)^2=5\left(9m^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow99m^2+48m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-8\pm5\sqrt{3}}{33}\) là những giá trị cần tìm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 7 2021
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 4 2021
1.
\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)\)
\(f'\left(x\right)-6x=3x^2-3.2\left(m+1\right)x+3\left(2m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m-1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-1>2m\left(x-1\right)\)
Do \(x>2\Rightarrow x-1>0\) nên BPT tương đương:
\(\dfrac{x^2-2x-1}{x-1}>2m\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-2}{x-1}>2m\)
Đặt \(t=x-1>1\Rightarrow\dfrac{t^2-2}{t}>2m\Leftrightarrow f\left(t\right)=t-\dfrac{2}{t}>2m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) với \(t>1\) : \(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2}{t^2}>0\) ; \(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t\right)>f\left(1\right)=-1\Rightarrow\) BPT đúng với mọi \(t>1\) khi \(2m< -1\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 4 2021
2.
Thay \(x=0\) vào giả thiết:
\(f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Leftrightarrow f^2\left(2\right)\left[f\left(2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế giả thiết:
\(-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\) (1)
Thế \(x=0\) vào (1) ta được:
\(-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
\(\Leftrightarrow f^2\left(2\right).f'\left(2\right)+4f\left(2\right).f'\left(2\right)-12=0\) (2)
Với \(f\left(2\right)=0\) thế vào (2) \(\Rightarrow-12=0\) ko thỏa mãn (loại)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=2\)
Thế vào (2):
\(4f'\left(2\right)+8f'\left(2\right)-12=0\Leftrightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1\)
11 tháng 4 2016
Ta có \(y'=3mx^2-6mx\Rightarrow y'=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}\) với mọi m khác 0
Do y' đổi dấu qua x=0 và x=2 nên đồ thị có 2 điểm cực trị => Điều phải chứng minh
Với \(x=0\Rightarrow y=3\left(m-1\right);x=2\Rightarrow y=-m-3\)
Do vai trò của A, B như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử \(A\left(0;3m-3\right);B\left(2;-m-3\right)\)
Ta có : \(OA^2+OB^2-2OA^2=-20\Leftrightarrow9\left(m-1\right)^2+4+\left(m+3\right)^2-2\left(4-16m\right)^2=-20\)
\(\Leftrightarrow11m^2+6m-17=0\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-\frac{17}{11}\end{cases}\)
Kết luận : Với \(\begin{cases}m=1\\m=-\frac{17}{11}\end{cases}\) yêu cầu bài toán được thỏa mãn
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 4 2021
Lời giải:
1.PT hoành độ giao điểm:
$x^2-mx-4=0(*)$
Khi $m=3$ thì pt trở thành: $x^2-3x-4=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x-4)=0$
$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=4$
Với $x=-1$ thì $y=(-1)^2=1$. Giao điểm thứ nhất là $(-1;1)$
Với $x=4$ thì $y=4^2=16$. Giao điểm thứ hai là $(4;16)$
2.
$\Delta (*)=m^2+16>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, đồng nghĩa với việc 2 ĐTHS luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A(x_1,y_1); B(x_2,y_2)$
Áp dụng định lý Viet:
$x_1+x_2=m$ và $x_1x_2=-4$
Khi đó:
$y_1^2+y_2^2=49$
$\Leftrightarrow (mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49$
$\Leftrightarrow m^2(x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)=17$
$\Leftrightarrow m^2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)=17$
$\Leftrightarrow m^2(m^2+8)+8m^2=17$
$\Leftrightarrow m^4+16m^2-17=0$
$\Leftrightarrow (m^2-1)(m^2+17)=0$
$\Rightarrow m^2=1$
$\Leftrightarrow m=\pm 1$
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)
giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau
\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)
ta đc điều phải cm
.