cho a,b>0 thỏa mãn a*b=4
tìm GTNN của P=\(\dfrac{1}{1+a}\)+\(\dfrac{1}{1+b}\)
hỏi P đạt GTNN khi nào
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2022
\(4=2a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{b^2}{4}=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab\right)-ab+2\)
\(\Rightarrow4=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-ab+2\)
\(\Rightarrow ab=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-2\ge-2\)
\(M_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-\dfrac{1}{a}=0\\a+\dfrac{b}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)
A
0
AT
30 tháng 7 2021
Ta có: \(A=\dfrac{a^2}{a+4}+\dfrac{b^2}{b+4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+8}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(=\dfrac{4^2}{4+8}=\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow A_{min}=\dfrac{4}{3}\) khi \(\dfrac{a}{a+4}=\dfrac{b}{b+4}\)
\(\Rightarrow ab+4a=ab+4b\Rightarrow a=b=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 7 2021
\(A=\dfrac{a^2}{a+4}+\dfrac{b^2}{b+4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+8}=\dfrac{4^2}{4+8}=\dfrac{4}{3}\)
\(A_{min}=\dfrac{4}{3}\) khi \(a=b=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{8}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2\left(a+b\right)^2}+\dfrac{15}{2\left(a+b\right)^2}\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}.2\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}}+\dfrac{15}{2.1^2}=\dfrac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 8 2021
Lời giải:
$P=a^3b^3+1+1+\frac{1}{a^3b^3}$
$=(ab)^3+\frac{1}{(ab)^3}+2$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$(ab)^3+\frac{1}{4096(ab)^3}\geq 2\sqrt{(ab)^3.\frac{1}{4096(ab)^3}}=\frac{1}{32}(1)$
$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow (ab)^3\leq \frac{1}{64}$
$\Rightarrow \frac{4095}{4096(ab)^3}\geq \frac{4095}{64}(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra:
$P\geq \frac{1}{32}+\frac{4095}{64}+2=\frac{4225}{64}$
Vậy $P_{\min}=\frac{4225}{64}$
Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{2}$
HX
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
Đây là bài IMO 2001 và không cần điều kiện \(a+b+c=1\)
Áp dụng Holder:
\(P.P.\left[a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ac\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)
\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3+3.2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{a^3+b^3+c^3+24abc}=1\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab=16\Rightarrow a+b\ge4\Rightarrow a+b-4\ge0\)
\(P=\dfrac{1+b+1+a}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}=\dfrac{a+b+2}{a+b+5}\)
\(P=\dfrac{3a+3b+6}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2\left(a+b+5\right)+\left(a+b-4\right)}{3\left(a+b+5\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+5\right)}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(a=b=2\)