Question

[Scarlett Ohara]

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi E là trung điểm AC, F là điểm đối xứng H qua E.

a, CM AFCH là hình chữ nhật.

b, Gọi O là trung điểm AH. CM B, O, F là 3 điểm thẳng hàng.

c, Gọi I là giao điểm BF, AC. CM IF = 2/3 OB.

d, Gọi M là hình chiếu E trên BC. Tam giác ABC cần điều kiện gì để OEMH là hình vuông?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét tứ giác AFCH có 

E là trung điểm của đường chéo AC(gt)

E là trung điểm của đường chéo HF(gt)

Do đó: AFCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AFCH có \(\widehat{AHC}=90^0\)(gt)

nên AFCH là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: AFCH là hình chữ nhật(cmt)

nên AF//BH và AF=BH(Hai cạnh đối)(1)

Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=CH(Hai cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AF//BH và AF=BH

Xét tứ giác ABHF có 

AF//BH(cmt)

AF=BH(cmt)

Do đó: ABHF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: Hai đường chéo AH và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà O là trung điểm của AH(gt)

nên O là trung điểm của BF

hay B,O,F thẳng hàng(đpcm)