cho tam giác ABC nhọn, các đường cáo AA', BB', CC', H là trực tâm.a/ tính tổng \(\frac{HA'}{AA'} \frac{HB'}{BB'} \frac{HC'}{CC'}\)b/ gọi AI là phân giác của tam giác ABC

TG

tran gia nhat tien

12 tháng 8 2015 - olm

cho tam giác ABC nhọn, các đường cáo AA', BB', CC', H là trực tâm.a/ tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)b/ gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM; IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB, chứng minh rằng: AN.BI.CM=BN.IC.AMc/ tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) đạt giá trị nhỏ...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

TD

Trần Đức Thắng

12 tháng 8 2015 - olm

cho tam giác ABC nhọn, các đường cáo AA', BB', CC', H là trực tâm.

a/ tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b/ gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM; IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB, chứng minh rằng: AN.BI.CM=BN.IC.AM

#Toán lớp 8

3

ML

Moon Light

12 tháng 8 2015

b)Do AI là phân giác

=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)

Do IN là phân giác=>\(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

Do IM là phân giác

=>\(\frac{CM}{AM}=\frac{CI}{AI}\)

=>\(\frac{BI}{CI}\cdot\frac{AN}{BN}\cdot\frac{CM}{AM}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AI}{BI}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=1\)

=>AN.BI.CM=BN.IC.AM

Đúng(1)

NN

nguyễn ngọc ánh

13 tháng 4 2016

A=(\frac{m-1}{1}+...+\frac{m-(m-1)}{m-1}+\frac{m-m}{m})+(\frac{1}{m-1}+\frac{2}{m-2}+...+\frac{m-2}{2}+\frac{m-1}{1})

Đúng(0)

CG

Cô gái thất thường (Ánh Dương)

19 tháng 4 2019 - olm

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC'', H là trực tâm.

a) Tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{Hb'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b) gọi AI là phân giác của tam giác ABC, IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và ATB. Cmr: AN.BI.CM=BN.IC.AM

c) cmr: \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2=BB'^2+CC'^2}\ge4\)

#Toán lớp 8

2

TT

Thanh Tùng DZ

19 tháng 4 2019

a) Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'B}+S_{AA'C}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)

Đúng(0)

TT

Thanh Tùng DZ

19 tháng 4 2019

vẽ Cx \(\perp\)CC' ; vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA giao điểm Cx tại I

\(\Rightarrow\)CD = AC và tam giác C'CIA là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)CC' = AI = ID ; \(\widehat{BAD}=90^o\)

Ta có BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC

\(\Rightarrow\)BD² \(\le\)( BC + CD )²

\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)BD² = AB² + AD²

\(\Rightarrow\)AB² + AD² \(\le\)( BC + AC )²

\(\Rightarrow\)AD² \(\le\)( BC + AC )² - AB²

\(\Rightarrow\)4CC'² \(\le\)( BC + AC )² - AB² . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC

tương tự , 4BB'² \(\le\) ( AB + BC )² - AC² Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC

4AA'² \(\le\)( AB + AC )² - BC² Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC

Suy ra : \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC hay tam giác ABC đều

Đúng(1)

W

꧁WღX༺

18 tháng 3 2020 - olm

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm

a) Tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN lần lượt là phân giác của góc AIC và AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM=BN.IC.AM

c) Chứng minh rằng \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)

#Toán lớp 8

0

CN

Chờ Người Nơi Ấy

26 tháng 2 2018 - olm

cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm

a) tính tổng HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC'

b) gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

#Toán lớp 8

3

NA

Nguyễn Anh Quân

26 tháng 2 2018

a, Có : HA'/AA' = HA'.BC/AA'.BC = S AHB + S AHC / S ABC

Tương tự : HB'/BB' = S BHA + S BHC / S ABC ; HC'/CC' = S CHA + S CHB / S ABC

=> HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC' = 2.(S AHC + S AHB + S BHC)/S ABC = 2

Tk mk nha

Đúng(1)

TH

tien hung

7 tháng 4 2019

a)

'

AA

'

HA

BC

'.

AA

.

2

1

BC

'.

HA

.

2

1

S

ABC

HBC



; (0,5đi

ể

m)

Tương t

ự

:

'

CC

'

HC

S

ABC

HAB



;

'

BB

'

HB

S

ABC

HAC



(0,5đi

ể

m)

1

S

'

CC

'

HC

'

BB

'

HB

'

AA

'

HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC









(0,5đi

ể

m)

b) Áp d

ụ

ng tính ch

ấ

t phân giác vào các tam giác ABC,

ABI, AIC:

AI

IC

MA

CM

;

BI

AI

NB

AN

;

AC

AB

IC

BI



(0,5đi

ể

m )

AM

.

IC

.

BN

CM

.

AN

.

BI

1

BI

IC

.

AC

AB

AI

IC

.

BI

AI

.

AC

AB

MA

CM

.

NB

AN

.

IC

BI







(0,5đi

ể

m )

Đúng(1)

BC

Big City Boy

12 tháng 3 2021

Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm. a) Tính tổng HA'/AA'+HB'/BB'+HC'/CC'. b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. CMR: AN.BI.CM=BN.IC.AM. c) CMR: (AB+BC+CA)^2/AA'^2+BB'^2+CC'^2 lớn hơn hoặc bằng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

3

TM

Trần Minh Hoàng

12 tháng 3 2021

c) Bổ đề: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó \(AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).

Thật vậy, dựng hình chữ nhật AHCE. Lấy F đối xứng với C qua AF.

Ta có \(AH=CE=\dfrac{CF}{2}\).

Do đó \(CF^2+CB^2=BF^2\le\left(AB+AF\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\Rightarrow CF^2\le\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)\Rightarrow AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).

Bổ đề được cm.

Áp dụng ta có \(\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+BA-AC\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+AC-AB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}}=4\).

Vậy ta có đpcm.

Đúng(2)

TM

Trần Minh Hoàng

12 tháng 3 2021

a) Ta có \(\dfrac{HA'}{AA'}=\dfrac{HA'.BC}{AA'.BC}=\dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\).

Tương tự \(\dfrac{HB'}{BB'}=\dfrac{S_{HCA}}{S_{ABC}};\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\).

Do đó \(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HCA}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\).

Đúng(3)

NV

Ngô Văn Phương

23 tháng 10 2016 - olm

Câu hỏi hay

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm.

a) Tính tổng HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC (I nằm trong ABC); IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.CI.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất?

#Toán lớp 8

2

JK

Jennie Kim

23 tháng 4 2020

tự kẻ hình nha bạn

a, có \(\hept{\begin{cases}S_{HBC}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\\S_{ABC}=\frac{BC\cdot AA'}{2}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\div\frac{BC\cdot AA'}{2}=\frac{HA'}{AA'}\)

có tương tự ta có \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\) và \(\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{HAC}+S_{HBC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

Đúng(0)

JK

Jennie Kim

23 tháng 4 2020

để mjnh làm tiếp câu b

b, IN là pg của \(\widehat{AIB}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{NB}{IB}=\frac{NA}{AI}\) (tc)

\(\Rightarrow NB\cdot AI=IB\cdot NA\)

\(\Rightarrow NB\cdot AI\cdot CM=IB\cdot AN\cdot CM\left(1\right)\)

IM là pg của \(\widehat{AIC}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AI}=\frac{MC}{IC}\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC=AI\cdot CM\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC\cdot NB=AI\cdot CM\cdot NB\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AN\cdot BI\cdot CM=BN\cdot CI\cdot AM\)

Đúng(0)

MX

Mai Xuân Phong

30 tháng 11 2016

Cho tam giác ABC với 3 đường cao AA' , BB' và CC' gọi H là trực tâm của tam giác. CMR : \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

#Toán lớp 8

3

NN

Nguyễn Như Nam

30 tháng 11 2016

Chứng minh gì lạ vậy bạn.

Đúng(0)

MX

Mai Xuân Phong

30 tháng 11 2016

\(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Bảo Trâm

30 tháng 1 2019 - olm

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA',BB',CC' , H la trực tâm.

a) Tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM,IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB . CMR: AN.BI.CM=BN.IC.AM

c) CMR: đường thẳng DF luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB

#Toán lớp 8

1

TH

tien hung

7 tháng 4 2019

Ban vao trang Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Củ Chi

Đúng(0)

BC

Bé con

15 tháng 7 2017 - olm

Câu hỏi hay

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm.a) Tính tổng: \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{HB'}{BB'}=\frac{HC'}{CC'}.\)b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của \(\widehat{AIC}\) và \(\widehat{AIB}\). Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức: \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

NH

Ngô Hà Phương

18 tháng 3 2020

Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:

Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.

C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ

=> CC'= AI

Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx

=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD

=> 2CC'=AD.

=> AB²+ AD²= BD²( Đlí PTG)

Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có: (BD+CD)²>= BD²

Có: AB²+ AD²=BD²

=> (BD+CD)²>= AB²+ AD²

=> (BD+CD)²>= AB²+ (2CC')²

=> (BD+CD)²>= AB²+ 4CC'

=> (BD+CD)²- AB²>= 4CC'(1)

CMTT=> (AB+AC)²-BC²>= 4AA'(2)

và (AB+BC)²- AC²>= 4BB'(3)

Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:

(AB+BC+AC)²>= 4(AA'²+BB'²+CC'²)

=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC

=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP