cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2p CM \(\sqrt{p}< \sqrt{a}-a+\sqrt{p-b}+\sqrt{P-c}< =\sqrt{3p}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 10 2016
- Chứng minh \(\sqrt{p}< \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\left(1\right)\)
Ta biến đổi tương đương : \(\left(1\right)\Leftrightarrow p< \left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow p< 3p-\left(a+b+c\right)+2\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+2\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+2\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}>0\) (luôn đúng)
- Chứng minh \(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có \(\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(3p-a-b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\le3p\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác ABC là tam giác đều
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2019
Ta có \(p-a>0;p-b>0;p-c>0\), áp dụng BĐT Bunhia:
\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(3p-\left(a+b+c\right)\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3\left(3p-2p\right)}=\sqrt{3p}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Lại áp dụng BĐT \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}>\sqrt{x+y+z}\) với x,y,z dương:
\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}>\sqrt{3p-\left(a+b+c\right)}=\sqrt{3p-2p}=\sqrt{p}\)
9 tháng 12 2016
- Chứng minh \(\sqrt{p}< \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\)
Vì \(\sqrt{p}>0\) nên ta có điều tương đương \(p< \left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow p< \left(3p-a-b-c\right)+2\left(\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}>0\) (luôn đúng)
- Chứng minh \(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta được : \(\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)^2\le3\left(p-a+p-b+p-c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)
Vậy có đpcm.
KN
28 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT Bu- nhi - a:
\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\)\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(p-a+p-b+p-c\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(3p-2p\right)}=\sqrt{3p}\)(Vì p là nửa chu vi nên \(a+b+c=2p\))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2020
Lời giải:
Biểu thức không có max mà chỉ có min bạn nhé. Nếu tính min thì làm như sau:
Đặt $x^{10}=a$ với $a\geq 0$
Khi đó: $P=a^{10}-10a+10$
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
$a^{10}+\underbrace{1+1+1+...+1}_{9}\geq 10\sqrt[10]{a^{10}}=10a$
$\Leftrightarrow a^{10}+9\geq 10a$
$\Rightarrow P=(a^{10}+9)-10a+1\geq 10a-10a+1=1$
Vậy $P_{\min}=1$ khi $a=1\Leftrightarrow x=\pm 1$
30 tháng 8 2017
Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)
Đặt \(x=b+c-a>0\)
\(y=a+c-b>0\)
\(z=a+b-c>0\)
\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)
\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)
\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)
\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)
Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng 3 bdt trên, suy ra :
\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"
P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé
AN
1
21 tháng 1 2016
Bất đẳng thức trên tương đương với
[(p-a)1/2 +(p-b) 1/2 +(p-c)1/2 ] 2 \(\le\) 3p \(\Leftrightarrow\) p-a+p-b+p-c +2 [ (p-a)1/2(p-b)1/2 + (p-b)1/2(p-c)1/2 + (p-c)1/2(p-a)1/2]\(\le\)3p
\(\Leftrightarrow\) (p-a)1/2(p-b)1/2 + (p-b)1/2(p-c)1/2 + (p-c)1/2(p-a)1/2\(\le\)p
Theo bất đảng thức cosi thì (p-a)1/2(p-b)1/2 \(\le\)[(p-a)+(p-b)]/2=c/2; Tương tự (p-b)1/2(p-c)1/2 \(\le\)a/2; (p-c)1/2(p-a)1/\(\le\)b/2;
Cộng tất cả các vế lại ta được điều phải chứng minh
