Cho DABC nhọn nội tiếp (O). M là một điểm bất kì nằm trên cung nhỏ AC (M khác A và C, AM < CM). Gọi D, E lần lườt là hình chiếu của M trên AC và BC.a/ Chứng minh: tứ giác CEDM nội tiếp.b/ Gọi H là tr...

HT

Hậu Trần Đoàn Thanh

7 tháng 7 2021

Cho DABC nhọn nội tiếp (O). M là một điểm bất kì nằm trên cung nhỏ AC (M khác A và C, AM < CM). Gọi D, E lần lườt là hình chiếu của M trên AC và BC.a/ Chứng minh: tứ giác CEDM nội tiếp.b/ Gọi H là trực tâm của DABC. Gọi gđ của đường thẳng AH với (O) và đường thẳng ED lần lượt là F và K (F ≠ A). Chứng minh tứ giác MEFK là hình thang cân.c/ DE cắt MH tại I. Chứng minh I là trung điểm của...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

HT

Hậu Trần Đoàn Thanh

7 tháng 7 2021

Cho DABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Gọi H là trực tâm của DABC. Đường thẳngBH cắt (O) tại K (K khác B).a/ Chứng minh K đối xứng với H qua AC.b/ M là một điểm nằm trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Gọi D, E, F lần lượt là hìnhchiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.c/ Đường thẳng FD cắt đường thẳng KB và đường thẳng MH lần lượt tại N và I. Chứng minh tứ giác MFKN nội tiếp và I...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

AT

An Thy

7 tháng 7 2021

a) Ta có: \(\angle KAC=\angle KBC=90-\angle ACB=\angle HAC\)

mà \(AC\bot HK\Rightarrow\) H và K đối xứng với nhau qua AC

b) Ta có: \(\angle BEM+\angle BDM=90+90=180\Rightarrow BEMD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle BED=\angle BMD=90-\angle DBM\)

Tương tự \(\Rightarrow MEFC\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle FEC=\angle FMC=90-\angle MCA\)

mà \(\angle DBM=\angle MCA\) (ABMC nội tiếp)

\(\Rightarrow\angle BED=\angle CEF\) mà B,E,C thẳng hàng \(\Rightarrow D,E,F\) thẳng hàng

c) Ta có: \(\angle NKM=\angle BKM=\angle BCM=\angle EFM=\angle NFM\)

\(\Rightarrow MFKN\) nội tiếp mà \(MF\parallel NK(\bot AC)\)

\(\Rightarrow MFKN\) là hình thang cân \(\Rightarrow\angle MNH=\angle FKH=\angle FHK\) (K và H đối xứng qua AC)

\(\Rightarrow HF\parallel NM\) mà \(FM\parallel NH\) \(\Rightarrow MNHF\) là hình bình hành

có MN và HF là 2 đường chéo cắt nhau tại I

\(\Rightarrow I\) là trung điểm MH undefined

Đúng(1)

PD

Phạm Đức Minh

3 tháng 3 2020 - olm

Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC ( M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB1, Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp và ACM=ACK2,Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE=AM. Chứng minh tam giác ECM vuông cân tại C3, Gọi d, là tiếp tuyến của (O) tại điểm A. Cho P là 1 điểm nằm trên d sao cho hai điểm P,C nằm...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

TT

Thanh Tùng DZ

3 tháng 3 2020

1) Dễ thấy \(\widehat{HCB}=\widehat{ACB}=90^o\)

tứ giác CBKH có \(\widehat{HKB}=\widehat{HCB}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{HCK}=\widehat{HBK}\)( 1 )

Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{ACM}=\widehat{ACK}\)

2) Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta BEC\)có :

AM = BE ; AC = BC ; \(\widehat{MAC}=\widehat{CBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BEC\)( c.g.c )

\(\Rightarrow MC=EC\)

Ta có : \(\widehat{CMB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=45^o\)

Suy ra \(\Delta ECM\)vuông cân tại C

3) Ta có : \(\frac{AP.MB}{AM}=R=OB\Rightarrow\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\)

Xét \(\Delta APM\)và \(\Delta OBM\), ta có :

\(\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\); \(\widehat{PAM}=\widehat{MBO}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)

\(\Rightarrow\Delta APM\approx\Delta BOM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\Delta APM\)cân tại P ( vì \(\Delta BOM\)cân tại O )

\(\Rightarrow PA=PM\)

Gọi giao điểm của BM và ( d ) là F ; giao điểm của BP với HK là I

Xét tam giác vuông AMF có PA = PM nên PA = PM = PF

Theo định lí Ta-let, ta có :

\(\frac{HI}{FP}=\frac{BI}{BP}=\frac{KI}{AP}\Rightarrow HI=KI\)

vì vậy PB đi qua trung điểm của HK

Đúng(0)

NM

Nhật Minh Vũ

27 tháng 3 2022

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh góc ACM = góc...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

C

chan

7 tháng 4 2023

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của cáccạnh BC và AC. Đường thẳng MN cắt cung nhỏ BC của đường tròn O tại P.a) Chứng minh rằng tứ giác OMCN nội tiếp.b) Gọi D là điểm bất kỳ trên AB D A D B    , . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD cắt cạnh BC tại điểmI khác B K; là giao điểm của hai đường thẳng DI và AC. Chứng minh rằng PK PB PC PD ...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

7 tháng 4 2023

a: ΔOBC cân tại O

mà OM là trung tuyến

nên OM vuông góc BC

ΔOAC cân tại O

mà ON là trung tuyến

nên ON vuông góc AC

Vì góc OMC+góc ONC=180 độ

nên OMCN nội tiếp

Đúng(0)

HT

Hoàng Thảo Phương

3 tháng 4 2018 - olm

Cho (O), bán kính R. Bán kính CO vuông góc với AB. M là 1 điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C). BM giao AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a, Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp.
b, góc ACM = góc ACK.
c, Trên BM lấy E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ACM cân tại C?

#Toán lớp 9

0

CC

Cao Chi Hieu

1 tháng 4 2018 - olm

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC. ( M khác B,C ) . AM cắt BC tại N. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của N trên AB, AC. DN cắt AC tại F.
a. CM tứ giác ADNE nội tiếp.
b. FN.FD = FE.FA

c. DE = AM.sinBAC

d. Khi M là điểm chính giữa cung BC nhỏ, hãy so sánh diện tichs ADME và diện tích ABC

#Toán lớp 9

0