Question

[Hồ Thu Giang]

Cho tam giác ABC. Lấy điểm D và E nằm ngoài tam giác sao cho AD=AB, AC=AE và góc DAB = góc EAC = 90^o. Lấy F và A nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC sao cho FB = FC và góc BFC = 90^o

Chứng minh rằng: Tam giác DEF vuông cân

Answer 1

[Trần Thị Loan]

+) Ta có: Góc DAC = DAB + BAC = 90^o + BAC

Góc BAE = CAE + BAC = 90^o + BAC

=> góc DAC = BAE

Xét tam giác DAC và BAE có: DA = BA ; góc DAC = BAE; AC = AE 

=> tam giác DAC = BAE (c-g-c) => DC= BE và góc AEB = ACD 

Gọi O là giao của CD và BE; H là giao của AC và BE

+) Xét Tam giác AEH vuông  có: Góc AEH + AHE = 90^o

Mà góc AEH = ACD ; AHE = OHC ( đối đỉnh)

=> góc ACD + OHC = 90^o 

Xét tam giác HOC có góc HOC = 180^o - ( ACD + OHC) = 90^o => BOC = 90^o ( kề bù)

- Gọi K là giao của CD và BF 

ta có: góc KFC = KOB ( cùng = 90^o); góc OKB = FKC (đối đỉnh)

=> góc OBF = FCK  hay EBF = FCD 

+) Xét tam giác FCD và FBE có: FC = FB (gt); góc FCD = FBE ; CD = BE ( chứng minh trên)

=> tam giác FCD = FBE (c- g- c)

=> FD = FE  => tam giác FDE cân tại F   (*)

Lại có: góc DFC = BFE  mà góc DFC = DFB + BFC  ; góc BFE = BFD +DFE 

=> góc BFC = DFE ; góc BFC = 90^o ( giả thiết) => góc DFE = 90^o => tam giác DFE vuông tại F   (**)

Từ (*)(**) => tam giác DFE vuông cân tại F