Question

[Nguyễn Minh Phương]

Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB lấy M , trên tia đối CB lấy N , sao cho AM = CN . Gọi E là trung điểm MN . Tia DE cất BC tại F . Qua M vẽ đường thẳng song song AD cắt DF tại H . Chứng minh :
a, tứ giác MFNH là hình thoi
b, ND² = NB . NF 
c, Chu vi tam giác BMF k đổi khi M di động trên AB 

Answer 1

[Blackcoffee]

a, ∆ADM = ∆CDN (c-g-c)

=> ^ADM = ^CDN (cgtứ) => ^MDN = ^ADC = 90độ ; DM = DN (cctứ)

=> ∆MDN vuông cân tại D (đcpm)

b, Xét ∆ DFN và ∆BDN có:

   ^DNF = ^BND

   ^DBN = ^FDN (=45độ)

=> ∆DFN ~ ∆BDN (g-g) => \(\frac{ND}{NB}=\frac{NF}{ND}\Rightarrow ND^2=NB\cdot NF\left(đpcm\right)\) 

c, P_BMF = MB + BF + MF = (AB - AM) + (BC - FC) + (FC + CN) = AB - AM + AB - FC + FC - AM (vì  AM=CN; AB=BC)

            = 2AB

Mà hình vuông ABCD cố định => độ dài AB không đổi => Chu vi ∆BMF không đổi

Vậy chu vi ∆BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB.