cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện sau
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\)
CMR:x=y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 7 2018
\(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
\(\Rightarrow S=2x^2-8x+5=2\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)
16 tháng 7 2018
Tại sao từ:\(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)\) lại => đc: \(\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}\)??????????
12 tháng 11 2021
\(\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+3-x\right)=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\le2\\ y^2+2\sqrt{2020}y+2022=\left(y^2+2y\sqrt{2020}+2020\right)+2\\ =\left(y+\sqrt{2020}\right)^2+2\ge2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=3-x\\y+\sqrt{2020}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-\sqrt{2020}\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
12 tháng 11 2021
ĐKXĐ: \(3\ge x\ge1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(1\sqrt{x-1}+1\sqrt{3-x}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+3-x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)
Mặt khác: \(y^2+2\sqrt{2020}y+2022=\left(y+\sqrt{2020}\right)^2+2\ge2\)
Nên để thõa mãn yêu cầu bài toán thì
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=\sqrt{3-x}\\y+\sqrt{2020}=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\y=-\sqrt{2020}\end{matrix}\right.\)
19 tháng 7 2021
Theo đề bài, ta có:
\(x^3+y^3=x^2-xy+y^2\)
hay \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-xy+y^2=0\\x+y=1\end{cases}}\)
+ Với \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\)
+ với \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow P\le\frac{1+\sqrt{1}}{2+\sqrt{0}}+\frac{2+\sqrt{1}}{1+\sqrt{0}}=4\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và \(P\ge\frac{1+\sqrt{0}}{2+\sqrt{1}}+\frac{2+\sqrt{0}}{1+\sqrt{1}}=\frac{4}{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2021
\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)
\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
7 tháng 5 2021
Dạ có thể diễn đạt theo cách dễ hiểu cho đứa ngu lâu dốt bền như em được không ạ ? ._.
30 tháng 10 2021
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2020-y^2\ge0\\2020-z^2\ge0\\2020-x^2\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}=3030\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{2020-y^2}+2y\sqrt{2020-z^2}+2z\sqrt{2020-x^2}=6060\)
\(\Leftrightarrow2020-y^2-2x\sqrt{2020-y^2}+x^2+2020-z^2-2y\sqrt{2020-z^2}+y^2+2020-x^2-2z\sqrt{2020-x^2}+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2020-y^2}-x\right)^2+\left(\sqrt{2020-z^2}-y\right)^2+\left(\sqrt{2020-x^2}-z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2020-y^2}-x\right)^2=\left(\sqrt{2020-z^2}-y\right)^2=\left(\sqrt{2020-x^2}-z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2020-y^2}=x\\\sqrt{2020-z^2}=y\\\sqrt{2020-x^2}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020-y^2=x^2\\2020-z^2=y^2\\2020-x^2=z^2\end{matrix}\right.\)(vì \(x,y,z>0\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020=x^2+y^2\\2020=y^2+z^2\\2020=z^2+x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3.2020\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3.1010=3030\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2+z^2=3030\)
Vậy \(A=3030\)
13 tháng 8 2016
Ta có x√(1-y2)<= (x2 + 1 - y2)/2
y√(1-z2)<= (y2 +1 - z2)/2
z√(1- x2)<= (z2 + 1 - x2)/2
=>x√(1-y2) +y√(1-z2)z+√(1- x2)<=3/2
Đấu đẳng thức xảy ra khi: x2 = 1 - y2
y2 = 1-z2
z2 = 1- x2
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh
ĐKXĐ: x,y >1
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\\ \)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}+\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\right).\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right).\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+5\right)-\left(y^2+5\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{\left(x-1\right)-\left(y-1\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Giả sử x=y
Khi đó:
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2\)
\(=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{x-1}+y^2\)
Luôn đúng
Vậy ta suy ra đpcm