Cho x,y,z là 3 số dương có tổng bằng 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x+y)/xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
0
TN
1
7 tháng 1 2018
A=x^3 +y^3 +z^3+ 2(x/y+z +y/z+x +z/x+y) \(\ge x^3+y^3+z^3+2.\frac{3}{2}\) (bạn vào tìm BĐT nesbit là sẽ cm cái đằng sau >= 3/2)
Áp dụng cô si \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=3\)
===> A\(\ge3+3=6\) khi x=y=z=1
U
1
Y
16 tháng 8 2019
Ta có
\(x+y+z=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=1\\ \Leftrightarrow1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\left(bđtAM-GM\right)\\ \Leftrightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4\left(x+y\right)^2z}{xyz}\ge\frac{4\cdot4xy\cdot z}{xyz}=16\)
(nhân cả hai vế với \(\frac{x+y}{xyz}\))
Vậy min A = 16 khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{2}\)
P.s: Cái chỗ bđt AM-GM bạn có thể thay bằng việc c/m bđt dưới để áp dụng vào bài toán:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
XO
29 tháng 1 2022
Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)
\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)
"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1
\(x,y,z>0\Rightarrow\left(x+y\right)+z>=2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1>=2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1>=4\left(x+y\right)z\)(bđt cosi)
\(M=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1\left(x+y\right)}{xyz}>=\frac{4\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}=\frac{4\left(x+y\right)^2z}{xyz}>=4\cdot\frac{\left(2\sqrt{xy}\right)^2z}{xyz}=\frac{4\cdot4xyz}{xyz}=4\cdot4=16\)
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
vậy min M là 16 khi \(x=y=\frac{1}{4}:z=\frac{1}{2}\)