Question

[Nguyễn Minh Ngọc]

cho tam giác ABC vuông tại A ,có C =30 độ. BD là phân giác của tam giác ABC (D thuộc AC).Kẻ DH vuông góc BC(H thuộc BC) Tia BA cắt HD tại K

a) CM  AD=DH

b) SO SÁNH  AD và CD

c)CM  D là trọng tâm của tam giác BKC 

d)CM  AD+AK> KC/2

Answer 1

[_Guiltykamikk_]

a) Xét tam giác ABD và tam giác HBD có :

\(\widehat{BAD}=\widehat{BHD}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)( BD là tia phân giác )

Chung BD

\(\Rightarrow\) tam giác ABD = tam giác HBD ( ch-gn )

\(\Rightarrow AD=DH\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác DHC vuông tại H có  \(DC>DH\)( trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh dài nhất )

Mà  \(AD=DH\)( câu a )

\(\Rightarrow AD< CD\)

c)  \(\widehat{ABC}=180^o-90^o-30^o=60^o\)

Ta có BD là tia phân giác  \(\widehat{ABC\Rightarrow}\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\frac{60^o}{2}=30^o\)

Xét tam giác BDC có  \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\left(=30^o\right)\)

\(\Rightarrow\)tam giác BDC cân tại D

Mà DH là đường cao  \(\left(DH\perp BC\right)\)

\(\Rightarrow\)DH cũng là đường trung tuyến tam giác BDC

\(\Rightarrow BH=HC\)

Xét tam giác KBH và tam giác KCH có :

\(\widehat{KHB}=\widehat{KHC}\left(=90^o\right)\)

BH = HC

Chung KH

\(\Rightarrow\)tam giác KBH = tam giác KCH ( c-g-c ) (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}KB=KC\\\widehat{KBH}=\widehat{KCH}\left(=60^o\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\Delta KBC\) đều

\(\Rightarrow\widehat{BKC}=60^o\)

Từ (1)  \(\Rightarrow\widehat{BKH}=\widehat{CKH}\)

\(\Rightarrow\widehat{BKH}=30^o\)

Xét tam giác BDK có  \(\widehat{DBK}=\widehat{BKD}\left(=30^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BDK\)cân tại D

Mà AD là đường cao  \(\left(AD\perp BK\right)\)

\(\Rightarrow\)AD là trung tuyến tam giác BDK

\(\Rightarrow BA=AK\)

Xét  \(\Delta KBC\)có

KH là trung tuyến ( BH = HC )

CA là trung tuyến ( BA = AK )

KH và CA cắt nhau tại D

\(\Rightarrow\)D là trọng tâm tam giác BKC

d) Ta có  \(\frac{KB}{2}=AK\)( do AB = AK )

\(AD+AK>\frac{KB}{2}\)

Mà KC = KB

\(\Rightarrow AD+AK>\frac{KC}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy ...