Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(a^{2018}+b^{2018}=a^{2020}\).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(p=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 6 2018
Xét \(a,b>1\)
\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}>a^{2018}+b^{2018}\)(loại)
Xét \(0< a,b< 1\)
\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}< a^{2018}+b^{2018}\)
Xét \(a=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\)
Xét \(a=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a,b\right)=\left(0,0;0,1;1,0;1,1\right)\)
Thế từng bộ vô cái nào lớn nhất lụm
25 tháng 2 2022
-Tham khảo:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-thoa-man-2018le-abcle2019-tim-gtln-cua-bieu-thuc-plefta-bright2000leftb-cright2000leftc-aright.253535226325
H
25 tháng 2 2022
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x+y=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2000}\le x\\y^{2000}\le y\\z^{2000}\le z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=x^{2000}+y^{2000}+z^{2000}\le x+y+z=2z\le2\)
\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi (x;y;z)=(0;1;1) và hoán vị
\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2018;2018;2019\right)\) và hoán vị
LV
10 tháng 6 2017
ta có: a,b,c>0 mà a+b+c=1 \(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)^2\le\left(a-b\right)^2\)
tương tự và cộng theo vế: \(VT\le6\left(ab+bc+ca\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(=2\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
10 tháng 6 2017
Câu hỏi của nguyen thu phuong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)
\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)
TN
13 tháng 5 2018
Với \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow P=2019\)
Ta sẽ chứng minh \(P=2019\) là GTNN của \(P\)
Thật vậy \(2018\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge2019\)
\(\Leftrightarrow2018\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-1\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow2018\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\left(a+b+c\right)\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2018\left(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\right)-\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\left(\frac{2018}{b}-\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\right)\right)\ge0\) *Luôn đúng*
