CMR:\(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)\()\)(n\(\in\)\(ℕ^∗\))
Từ đó áp dung chứng minh: S=1+\(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
CMR:18<S<19
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
S
23 tháng 2 2020
Xét dạng tổng quát có: \(\frac{1}{\sqrt{n+1}\left(n+1\right)+n\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)-\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)
\(< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}-\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
.....
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cộng vế theo vế =>\(VT< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(ĐPCM\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
NH
16 tháng 9 2020
a)\(\frac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2.n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b)\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)
\( S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
16 tháng 9 2020
\(a,\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(n+1-n\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, \(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
Quy đồng hết lên
CHú yys : nên c/m từng cái một thì hơn
/
mèo con