Cho các số x, y, z, t không âm thỏa mãn: xy + yz + zt + tx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(5x^2+4y^2+5z^2+t^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 10 2020
AM-Gm đyyyyy
Giả sử P đạt min khi x=a=z>0; b=y>0; c=t>0. Khi đó bx=bz=ay; cx=cz=at và ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT AM-GM như sau:
\(abxy\le\frac{b^2x^2+a^2y^2}{2}\left(1\right);abyz\le\frac{a^2y^2+b^2z^2}{2}\left(2\right);aczt\le\frac{c^2z^2+a^2t^2}{2}\left(3\right);actx\le\frac{a^2t^2+c^2x^2}{2}\left(4\right)\)
Từ (1);(2); (3) và (4) suy ra:
\(abcxy\le\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)}{2}\left(5\right);abcyz\le\frac{c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)}{2}\left(6\right);abczt\le\frac{b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)}{2}\left(7\right);abctx\le\frac{b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}\left(8\right)\)
Cộng các bất đẳng thức (5) (6) (7) (8) theo vế ta được
\(abc=abc\left(xy+yz+zt+tx\right)\le\)\(\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)+c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)+b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)+b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}=\frac{\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2}{2}\)
tức \(\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2\ge2abc\left(9\right)\)
Như vậy để tìm minP cần tìm các số a,b,c theo tỉ lệ thích hợp sao cho hệ số x2;y2;t2 chia nhau theo tỉ lệ 5:4:1
\(\frac{b^2c+bc^2}{5}=\frac{2a^2c}{4}=\frac{2a^2b}{1}\)
Mặt khác, ta có bất đẳng thức xảy ra khi x=z=a;y=b;c=t mà theo giả thiết xy+yz+zt+tx=1 nên phải có ab+bc+ca+ac=1
Và như vậy ta đưa được bài toán về việc giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{bc\left(b+c\right)}{5}=\frac{a^2c}{2}=2a^2b\\a\left(b+c\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)(*)
Giải hệ này ta tìm được \(a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)khi đó bất đẳng thức (9) trở thành
\(10a^2b\left(x^2+z^2\right)+8a^2by^2+2a^2b^2t^2\ge2abc\)
\(\Rightarrow P=5x^2+5z^2+4y^2+t^2\ge\frac{2abc}{2a^2b}=\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
Vì vậy ta có đẳng thức xảy ra khi \(x=z=a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=y=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=t=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
\(4x^2+4y^2\ge8xy\)
\(16x^2+z^2\ge8zx\)
\(16y^2+z^2\ge8yz\)
Cộng vế với vế:
\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 8 2021
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
7 tháng 8 2021
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673
8 tháng 5 2018
Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và \(b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)khi đó \(a=3b\)và \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta thu được các BĐT sau: \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)
\(by^2+z^2\ge2byz\)
\(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)
Cộng các vế theo các vế các BĐT thu được để có:
\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)
Hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\); b và c để có được
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
Cuối cùng, với \(x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}\)và \(y=\sqrt{\frac{13\sqrt{17}-51}{34}}\)( Thỏa mãn giả thiết ) thì \(P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
Nên ta kết luận \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)
